Déclarations liées au travail de Thurston sur la surface

Question

Si nous avons des courbes fermées simples $\alpha$ et $\beta$ sur une surface $\Sigma_g$, le numéro de l'intersection $i(\alpha ,\beta)$ est définie comme étant la cardinalité minimale de $\alpha_1\cap\beta_1$ comme $\alpha_1$ et $\beta_1$ gamme sur toutes les courbes fermées simples isotopiques à $\alpha$ et $\beta$, respectivement. Nous disons$\alpha$ et $\beta$ se croisent au minimum si $i(\alpha ,\beta) = |\alpha\cap\beta|\,$.

Comment voir ça $\alpha$ et $\beta$ se croisent au minimum s'il n'y a pas de paires de $p,q\in\alpha\cap\beta$ de telle sorte que l'arc joignant $p$ à $q$ le long de $\alpha$ suivi de l'arc de $q$ retour à $p$ le long de $\beta$ limite un disque dans $\Sigma_g$?
Peut-être une esquisse de l'idée de preuve?

Je pense que l'inverse est également vrai: "que $\alpha$ et $\beta$ ne se croisent au minimum que s'il n'y a pas de paires de $p,q\in\alpha\cap\beta$ de telle sorte que l'arc joignant $p$ à $q$ le long de $\alpha$ suivi de l'arc de $q$ retour à $p$ le long de $\beta$ limite un disque dans $\Sigma_g$. "

Answer 1

C'est ce qu'on appelle le "critère bigon". Pour une discussion, voir la section 1.2.4 (et en particulier la proposition 1.7) du "Primer on mapping class groups" de Farb et Margalit.

La recherche Google "critère bigon" permet également de trouver diverses références et notes de cours. Par exemple, voici le premier hit:

https://math.stackexchange.com/questions/1646340/proof-of-the-bigon-criterion