Décomposition d'une variété topologique en ensembles avec des intersections de faible dimension
Laisser $f:M\rightarrow N$ être une fonction continue entre des variétés topologiques connectées, modélisées respectivement sur $\mathbb{R}^m$ et $\mathbb{R}^n$; $n,m\in \mathbb{Z}^+$. Pouvons-nous toujours trouver une couverture$\{C_i\}_{i \in I}$ de $N$ tel que:
- $I$ est fini,
- le $C_i$ sont des sous-ensembles fermés réguliers, c'est-à-dire $\overline{\text{int}(C_i)}=C_i$,
- $\text{int}(C_i)\cong \mathbb{R}^n$,
- $\text{dim}(C_i\cap C_j)<n$? et$C_i\cap C_j$ est un ensemble Borel?
Quand $N$ est compact, c'est clair, puisque nous ne faisons que couvrir $N$avec des quartiers localement euclidiens, prenez leurs fermetures et réduisez-les à un ensemble fini en utilisant la compacité. Mais qu'en est-il en général?
Réponses
Je vais ignorer $M$ et $f$puisqu'ils ne jouent aucun rôle dans la question. Voici ce que je sais sur le boîtier compact:
Si $N$ admet une triangulation ou, plus généralement, une décomposition de la poignée, puis la collection finie de sous-ensembles $C_i$ existe.
Chaque variété topologique de dimension $\le 3$ admet une triangulation.
Chaque variété topologique de dimension $> 4$ admet une décomposition de poignée.
On ne sait pas si les 4-variétés topologiques compactes admettent la structure des complexes CW.
Éditer. Je viens de réaliser que la réponse à votre question est positive pour toutes les variétés connectées. Même deux sous-ensembles$C_1, C_2$suffira. C'est une application du théorème de Berlanga-Brown qui stipule que chaque n-variété topologique connectée contient un sous-ensemble ouvert et dense homéomorphe à la n-boule ouverte.
Voici quelques détails:
Berlanga dans
R.Berlanga "Un théorème de cartographie pour les variétés topologiques sigma-compactes", Compositio Math, 1987, vol. 63, 209-216.
généralise un travail antérieur de Morton Brown (dans le cas des variétés compactes) prouve que chaque $n$-variété topologique dimensionnelle $N$ contient un sous-ensemble ouvert et dense $U$ homéomorphe à $R^n$. Je vais considérer le cas$n\ge 2$ depuis la situation avec $n=1$ est clair.
Laisser $A:= N - U$. Choisissez une séquence$x_i\in U$ dont l'accumulation s'est installée $N$ équivaut à $C$. Depuis$U$ est homéomorphe à $R^n$, il existe une hypersurface $H\subset U$ homéomorphe à $R^{n-1}$, contenant la séquence $(x_i)$ et séparer $U$ dans deux sous-ensembles ouverts $V_1, V_2$ chaque homéomorphe à $R^n$. Puis la fermeture$C_i$ de $V_i$ dans $N$ sera régulier (voir ci-dessous) et l'intersection $B=C_1\cap C_2$ a un intérieur vide $N$. Donc,$\dim(B)=n-1$. (En général, chaque sous-ensemble fermé avec un intérieur vide dans un$n$- le collecteur dimensionnel a une dimension de recouvrement $\le n-1$, c'est le théorème de Menger-Urysohn . Mais dans notre cas$B$ contient $H$, alors $\dim(B)=n-1$.)
Pour voir la régularité de $C_i, i=1, 2$ notez que la limite de $C_i$ équivaut à $A\cup H$ et, par la construction, chaque point de $A\cup H$ est un point limite des deux $V_1$ et $V_2$. Donc,$int C_i= V_i$, tandis que $C_i=cl(V_i)$, $i=1, 2$.