découverte $f(x,y)$ qui satisfait l'équation du plan tangent

Question

Q: Donnez un exemple pour une fonction $f(x,y)$ dérivées partielles continues qui satisfont à ce qui suit:

1. $z=f(x,y)$ n'est pas un avion
2. $z=f(x,y)$ passe par le point $(6,4,3)$
3. Le plan tangent à la surface $z=f(x,y)$ à ce point $(6,4,3)$ est $$ -4(x-6) +1(y-4) +z -3 = 0 \\~\\ $$

Mon avis: en regardant l'équation du plan tangent, nous pouvons dire que: $$ G(x) = f(x,y) -z \\ ~\\ \nabla G(6,4,3) = (-4,1,1) $$ Et je ne sais pas comment procéder plus loin que cela. Je peux penser à d'innombrables options aléatoires, mais quelle est la manière de résoudre ce problème?

Answer 1

De la géométrie algébrique, je suis habitué à la stratégie du cône tangent pour trouver le plan tangent (ou la ligne) d'une variété donnée implicitement par une (ou, disons, deux) équation (s) polynomiale (s). Dans sa forme la plus simple, cette méthode revient à écrire un polynôme autour d'un point (ou à le traduire à l'origine) et à y étudier le polynôme. Si votre point est sur la variété (surface de lecture), le terme constant disparaît. L'ensemble zéro des termes linéaires donne le plan tangent, etc. Le revers de la médaille est que si vous avez le plan tangent, vous pouvez ajouter des termes d'ordre supérieur autour du point pour obtenir des surfaces qui ont ce plan comme plan tangent. Et si vous n'ajoutez pas de termes d'ordre supérieur dans$(z-3)$ il sera toujours exprimable en polynômes comme $z=f(x,y).$

L'une des façons les plus simples de répondre à votre question est alors

$$(x-6)^2+(y-4)^2-4(x-6) +1(y-4) +1(z-3) = 0.$$