Définition de la connectivité et de son intuition

Aug 15 2020

On dit un espace topologique $X$être connecté s'il ne peut pas être écrit comme union disjointe de deux sous-ensembles ouverts non vides. La connectivité intuitive signifie que notre espace topologique est une seule pièce.Je ne suis pas en mesure de voir comment la définition ci-dessus capture l'intuition. Veuillez aider.

Réponses

7 HennoBrandsma Aug 15 2020 at 19:52

Si bien sûr un espace $X$ avoir deux points ou plus peut être écrit comme $A \cup B$, avec $A,B$disjoint et non vide, à bien des égards. Mais être déconnecté signifie qu'il existe un moyen de le faire de telle sorte qu'aucun point de$A$ est près de" $B$ et aucun point de $B$ est près de" $A$. Être proche de est formalisé dans la topologie en étant dans la fermeture. Alors appelle un espace$X$ déconnecté quand on peut l'écrire comme $A \cup B$, les deux ensembles non vides et tels que $\overline{A} \cap B = \emptyset$ (aucun point de $B$ est près de $A$) et $A \cap \overline{B} = \emptyset$ (aucun point de $A$ est près de $B$). Mais cela implique que$$X\setminus B= A \subseteq \overline{A} \subseteq X\setminus B$$ donc en particulier $A=\overline{A}$ et $A$est fermé. Symétriquement,$B$ est fermé aussi, et comme $A$ et $B$ sont des compléments l'un de l'autre, $A$ et $B$ sont également ouverts (ce que vous pouvez également voir comme suit, par exemple si $x \in A$ n'étaient pas un point intérieur de $A$, chaque quartier de $x$ contiendrait non-$A$ points, donc des points de $B$, comme $A\cup B=X$. Et si chaque quartier de$x$ intersecte $B$, $x \in \overline{B}$, mais nous n'avons supposé aucun point $x$ de $A$ était proche de $B$...)

Nous en sommes donc à la définition de la question, appelant un espace qui n'est pas déconnecté en ce sens, «connecté». C'est en fait équivalent de demander dans la définition de la déconnexion des parties ouvertes simultanément, des parties simultanément fermées ou des parties «séparées» (comme la première définition).

3 Vercassivelaunos Aug 15 2020 at 19:32

Si vous coupez un ensemble connecté en deux morceaux, alors sur le site de la coupe, l'un des deux morceaux sera "ouvert", tandis que l'autre sera "fermé". Par exemple, si vous coupez la vraie ligne en deux morceaux au point$a\in\mathbb R$, vous obtiendrez soit deux pièces $(-\infty,a],(a,\infty)$, ou $(-\infty,a),[a,\infty)$. Au moins l'un d'entre eux a une limite fermée à$a$. Les points appartenant à la coupe doivent être inclus dans l'une des deux pièces, et cette pièce aura le point de coupe comme point limite. De même pour les espaces plus compliqués: la ligne le long de laquelle nous coupons doit être répartie entre les deux pièces, leur donnant une limite, les rendant non ouvertes.

Bien sûr, nous n'avons pas besoin de couper le long d'une ligne / d'un plan / quoi que ce soit, mais c'est le cas où l'intuition est la plus immédiatement claire.