Définition inhabituelle de l'ensemble de Cantor
J'ai vu plusieurs définitions des ensembles de chantre, mais elles sont toutes différentes des miennes. Mon livre définit un ensemble de chantre comme:
L'ensemble de tous les nombres réels de la forme $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}3^{-n}$ où $a_{n}$ prend l'une ou l'autre des valeurs $0$ ou $2$.
Comment est-ce un ensemble? Je ne comprends pas ce qu'ils veulent dire par "où$a_{n}$ prend l'une ou l'autre des valeurs $0$ ou $2$"ça veut dire que $a_{n}$ alterner comme $0$, $2$, $0$, $2$? Pourriez-vous me donner quelques valeurs dans cet ensemble? Et qu'est-ce que cela a à voir avec cette image que je vois partout?
Réponses
Votre livre signifie que l'ensemble du chantre est l'ensemble des nombres $x$ qu'il est possible d'écrire sous la forme $\sum_{n=1}^{\infty}a_n3^{-n}$ pour une séquence $a_n$ où chacun $a_n$ est soit $0$ ou $2$. Un peu moins dense, vous pourriez dire soit:
Un certain nombre dans $[0,1]$ est dans l'ensemble de Cantor s'il peut être écrit comme deux fois la somme des puissances distinctes de $3$.
Un numéro $x$ dans $[0,1]$ est dans l'ensemble de Cantor s'il a une expansion ternaire qui n'utilise jamais de $1$. (C'est la même chose que ci-dessus, sachant que les expansions ternaires ne sont que "écrire un point décimal puis un tas de nombres$\{0,1,2\}$ et considérez la somme des $n^{th}$ durée du trimestre $3^{-n}$ sur tout $n$")
Le particulier $x$ où $a_n$ alterne entre $0$ et $2$ est donc dans l'ensemble Cantor (ce $x$ égaliser $1/4$), mais il existe d'innombrables autres séquences $a_n$ dont les seules valeurs sont $0$ et $2$, qui donnent tous des éléments distincts de l'ensemble Cantor.
L'image que vous montrez montre la construction du même ensemble en prenant un intervalle et en supprimant à plusieurs reprises le tiers central de chaque intervalle. Cela produit une séquence d'ensembles qui deviennent de plus en plus petits - et l'intersection de tous ces ensembles est l'ensemble du chantre, et est exactement le même ensemble défini par votre livre. L'équivalence est plus claire dans les extensions ternaires:
Au début, vous avez l'intervalle $[0,1]$. Vous supprimez ensuite l'intervalle$(1/3,2/3)$ car le premier terme de leur expansion ternaire doit être $.1\ldots_3$, ce qui signifie qu'ils ne peuvent pas être écrits sous la forme souhaitée. Ensuite, vous supprimez$(1/9,2/9)$ et $(7/9,8/9)$ dont les expansions ternaires commencent $.01\ldots_3$ et $.21\ldots_3$ parce que, bien que leur premier chiffre soit correct (étant $0$ ou $2$), leur deuxième chiffre ne l'est pas. Vous supprimeriez alors les nombres dont les extensions ternaires commencent$.001\ldots_3$ ou $.021\ldots_3$ ou $.201\ldots_3$ ou $.221\ldots_3$ et ainsi de suite - et les seuls nombres restants à la fin seraient ceux qui peuvent être écrits avec une expansion ternaire contenant seulement $0$'le sable $2$'s - qui est exactement l'ensemble des nombres qui peuvent être écrits sous la forme que votre livre pose.