Degré d'extension d'un champ par un élément transcendantal

Aug 18 2020

Laisser$F$être un champ, et laisser$F(x)$être le corps des fractions de l'anneau de polynômes$F[x]$. Je suis intéressé par le degré d'extension du champ$[F(x) : F]$. Il est évidemment infini, mais quelle est exactement sa cardinalité ? Est-ce$\aleph_0$? Est-ce que ça dépend du domaine$F$?

Réponses

6 reuns Aug 18 2020 at 00:05

Le naturel$F$-base de$F(x)$est$$\{ x^k, k\ge 0\} \cup \{ x^l/h^m, m\ge 1,l<\deg(h), h \in F[x]\text{ monic irreducible}\}$$Ainsi (pour$F$infini) la cardinalité de la base est comprise entre celle de$F$et$F[x]^2$, c'est à dire. c'est la même chose que$F$.

RiversMcForge Aug 18 2020 at 03:23

Pour tout champ infini$F$,$F[x] = \oplus_{n \geq 0} F (x^n)$est de cardinalité égale à$F$, et il existe une application surjective$F[x] \times (F[x])^* \rightarrow F(x)$donné par$(p(x), q(x)) \mapsto \frac{p(x)}{q(x)}$(où$(F[x])^* = F[x] \setminus \{ 0 \}$). Depuis$F[x] \times (F[x])^*$est de cardinalité égale à$F[x]$, le résultat suit.

Si$F$est fini,$F[x]$est dénombrable infini, et par la même logique que ci-dessus,$F(x)$est également dénombrable infini.