Démontrer qu'une suite $\{a_n\}_n$Défini par $a_1=-\frac14$et $-a_{n+1}=\frac{a_na_{n+1}+4}4$est convergente et trouver sa limite.

Question

Je voudrais vérifier ma tentative et ma déduction. La tâche est la suivante :

Démontrer qu'une suite$\{a_n\}_n$Défini par$a_1=-\frac14$et$$-a_{n+1}=\frac{a_na_{n+1}+4}4$$est convergente et trouver sa limite.

Voilà ce que j'ai pour l'instant :

$$-a_{n+1}=\frac{a_na_{n+1}+4}4\iff a_{n+1}(a_n+4)+4=0\tag 1$$

J'ai calculé quelques termes:

$a_2(a_1+4)=-4\implies a_2=-\frac{16}{15}\\a_3(a_2+4)=-4\implies a_3=-\frac{15}{11}\\a_4(a_3+4)=-4\implies a_4=-\frac{44}{29}$

Je supposais$a_n<0\quad\forall n\in\Bbb N$.

Puis, de$(1)$et$a_{n+1}<0$, ça suit

$\begin{aligned}a_{n+1}(a_n+4)&=-4\\\implies a_n+4&>0\\\implies a_n&>-4\end{aligned}$

Alors, par induction, si$\,0>a_1>\ldots>a_{m-1}>a_m$pour certains$m\in\Bbb N,$on a$\begin{aligned}a_{m-1}+4&>a_m+4>0\\\implies \frac1{a_{m-1}+4}&<\frac1{a_m+4}\\\implies \color{red}{a_m}=-\frac4{a_{m-1}+4}&>-\frac4{a_m+4}=\color{red}{a_{m+1}}\end{aligned}$

Ainsi, la séquence$\{a_n\}_n$est monotone et bornée et donc convergente.

En outre, nous pouvons prouver une déclaration plus forte :

$a_n>-2\quad\forall n\in\Bbb N$.

$$\begin{aligned}a_n+4&>-2+4=2>0\\\implies -\frac1{a_n+4}&>-\frac12\\\implies a_{n+1}=-\frac4{a_n+4}&>-\frac42=-2\end{aligned}$$

Brancher la limite dans$(1)$, on a$$L^2+4L+4=(L+2)^2=0\iff L=-2$$

D'où,$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=-2$.

Y a-t-il une erreur dans mes hypothèses et mes conclusions et dois-je suivre les étapes dans un ordre différent ?

Je sais que je n'ai pas pu prouver$a_n<0\quad\forall n$par induction puisque la fonction$f:\Bbb R\setminus\{-4\}\to\Bbb R\setminus\{0\}$Défini par$$f(x)=-\frac4{x+4}$$n'est pas monotone sur tout le domaine, juste sur$(-\infty,-4)$et$(-4,+\infty)$séparément.

Aussi, quand j'ai envisagé d'écrire$a_n=\frac{x_n}{y_n}$et alors$$\begin{aligned}a_{n+1}&=\frac{x_{n+1}}{y_{n+1}}\\&=-\frac4{\frac{x_n}{y_n}+4}\\&=\frac{-4y_n}{x_n+4y_n}\end{aligned}$$et en supposant$x_{n+1}=-4y_n$et$y_{n+1}=x_n+4y_n$, j'ai obtenu la récurrence homogène$$\begin{aligned}y_{n+1}&=-4y_{n-1}+4y_n\\\iff y_{n+1}-4y_n+4y_{n-1}&=0\end{aligned}$$avec un polynôme caractéristique$$\lambda^2-4\lambda+4=(\lambda-2)^2$$avec une racine multiple, alors j'ai pensé que je compliquerais trop.

Merci beaucoup!

Answer 1

$$-4A_{n+1}=A_n A_{n+1}+4$$

Laisser$A_n=\frac{B_{n-1}}{B_n}$ $$-4\frac{B_n}{B_{n+1}}=\frac{B_{n-1}}{B_n} \frac{B_n}{B_{n+1}}+4$$ $$\implies 4B_{n+1}+4 B_n+B_{n-1}=0$$Laisser$B_n=t^n$, ensuite$$\implies 4t+4+t^{-1}\implies t=-1/2.$$Puis$B_n=(Pn+Q)(-2)^{-n}$,$$ A_n=-2\frac{P(n-1)+Q}{Pn+Q}=-2\frac{n-1+R}{n+R}$$ $$A_1=-1/4 \implies R=1/7.$$Enfin, nous avons la solution pour$(1)$comme$$A_n=\frac{12-14n}{7n+1} \implies \lim_{n \to \infty}A_n=-2.$$