Différence entre $\forall n\in\mathbb N$ et $\bigcap_{i = 1}^{\infty}$
Vraiment confus sur la différence entre $\forall n\in\mathbb N$ et $\bigcap_{i=1}^\infty$.
Dans Comprendre l'analyse, je cite l'exercice 1.2.13. cette
Il est tentant de faire appel à l'induction pour conclure $(\bigcup_{i = 1}^\infty A_i)^c = \bigcap_{i=1}^\infty A_i^c$.
mais l'induction ne s'applique pas ici. L'induction est utilisée pour prouver qu'une déclaration particulière est valable pour chaque valeur de$n\in\mathbb N$, mais cela n'implique pas la validité du cas infini.
J'ai fait des recherches à ce sujet pendant un certain temps et j'ai compris que finalement le fait que je puisse signaler un $n\in\mathbb N$ signifie que $n$est fini. Par conséquent, il ne peut pas s'appliquer au cas infini.
Oui, je comprends la justification. Mais si$\forall n \in\mathbb N$ ne fonctionne pas, alors qu'est-ce qui fonctionne pour prouver un cas infini?
Tout comme je me sens à l'aise face à la différence. La confusion est à nouveau évoquée par le livre et je cite dans ce qui suit, dans l'espoir de le rendre le plus court possible:
La propriété d'intervalle imbriqué suppose que chaque $I_n$ contient $I_{n+1}$. Il s'agit d'une séquence imbriquée d'intervalles fermés définis comme tels.$I_n = [a_n, b_n] = \{x\in\mathbb R : a_n\leq x \leq b_n\}$.
La preuve se concentre sur la recherche d'un seul nombre réel x qui appartient à tous $I_n$ et il soutient que c'est supA.
Dans la preuve, il a dit $x\in I_n$, pour chaque choix de $n\in\mathbb N$. Par conséquent,$x\in \bigcap_{n=1}^\infty I_n$ et l'intersection n'est pas vide.
Faites-moi savoir si les détails manqués sont nécessaires. Cependant, mon point est juste que:
- Pourquoi dans la règle de l'infini de Morgan $\forall n\in\mathbb N$ ne s'applique pas à $\infty$
- Pourquoi dans la propriété d'intervalle imbriqué $\forall n\in\mathbb N$ s'applique à $\infty$
Réponses
$\forall n\in\Bbb N$ ne s'applique jamais à$\infty$, car $\infty$ n'est pas un élément de $\Bbb N$. Dans le théorème d'intervalle imbriqué, il n'y a pas $I_\infty$. Ce que nous savons, c'est que$x\in I_n$ pour chaque $n\in\Bbb N$, et donc par définition $n$ est à l'intersection des ensembles $I_n$. Vous pourriez appeler cette intersection$I_\infty$ si vous vouliez le faire, mais ce serait un choix arbitraire totalement indépendant de l'argument d'induction impliquant les ensembles $I_n$; vous pourriez aussi bien l'appeler George. (Il y a de nombreuses années, un de mes amis a en fait publié un article sur un objet mathématique qu'il a nommé George.)
Quant à la loi de De Morgan, on la prouve pour des familles d'ensembles arbitraires simplement en montrant que chaque côté de l'identité proposée est un sous-ensemble de l'autre. Ceci est fait pour les familles d'ensembles indexées arbitraires ici et dans cette réponse (et probablement à d'autres endroits à MSE également). La preuve ne dépend pas du théorème des familles finies d'ensembles et n'implique aucun type d'induction.
La règle de De Morgan fonctionne pour des ensembles infinis. Mais cela ne peut pas être prouvé en induisant sur la version finie de la règle de De Morgan, puisque l'induction est un outil pour prouver qu'une déclaration est vraie pour une valeur arbitrairement grande$n$ (mais $n$ est encore fini).
Quant à l'intersection d'un nombre infini d'ensembles, cela découle de la définition. On dit que$x \in \bigcap_{n=1}^\infty I_n$ iff $x \in I_n$ pour tous $n \in \mathbb N$.