Domaine fondamental d'un pavage uniforme du plan hyperbolique

Question

Considérez la configuration des sommets $(3.4)^3$qui donne le carrelage octogonal alterné

et peut être trouvé aussi ici :

Je n'ai aucune idée de comment le domaine fondamental , resp. la cellule primitive de ce pavage ressemble, comment la construire et comment la représenter (à partir de laquelle la mosaïque peut être créée par quelques traductions dans le plan hyperbolique). Quelqu'un peut-il s'il vous plaît être utile?

Answer 1

Le tableau wikipedia a une colonne "Triangles fondamentaux". Ces petits triangles sont les domaines fondamentaux (cellules de base) utilisés pour construire le pavage par réflexions sur les bords du triangle fondamental. Les compositions de réflexions sur les bords donnent alors des traductions et des rotations.

Notez que même si les triangles ont un aspect différent en raison de la métrique hyperbolique, ils sont en fait tous des copies congruentes.

Si vous êtes intéressé par le groupe de symétrie sous-jacent de ces pavages, recherchez le terme groupe de réflexion ou groupe de Coxeter. Les paramètres (4.3.3), (4.4.3) etc. spécifient les relations du groupe de réflexion générées par les trois réflexions sur les bords du triangle frundamental.