Doute lié à la preuve d'un théorème sur la dimension des fibres.
- $f:X \rightarrow Y$être un morphisme de variétés tel que pour chaque$p\in Y,\, \dim f^{-1}(p) = n$. Alors$\dim X=\dim Y+n$. Dans la preuve de ce théorème si je remplace$X$par un ouvert affine pourquoi la dimension de la fibre est la même. S'il vous plaît, expliquez.
- $f:X \rightarrow Y$un morphisme de variétés affines tel que pour chaque$p\in W,\, \dim f^{-1}(p) =n$pour un sous-ensemble dense$W$de$Y$. Alors$\dim X= \dim Y+n$. J'ai essayé d'en écrire une preuve qui est la suivante :
Preuve par induction sur$\dim Y$. Rien à prouver quand$\dim Y=0$. Laisser$X \subseteq A^{r}, Y \subseteq A^{m}$être des sous-variétés fermées.$f=(f_{1},...,f_{m})$, où$f_{i} \in K[x_{1},...,x_{r}]$.
Laisser$F \in K[x_{1},...,x_{m}] \setminus I(Y)$.$\quad Y^{'}=Y \cap Z(F)$.
$X^{'}=f^{-1}(Y^{'})=X \cap Z(F(f_{1},...,f_{m}))$.$\quad F(f_{1},...,f_{m}) \in K[x_{1},...,x_{r}] \setminus I(X)$.
$\widetilde{X}$être une composante irréductible de$X^{'}$.$\quad \dim \widetilde{X}=\dim X-1$.
Il existe une composante irréductible$\widetilde{Y}$de$Y^{'}$tel que$\quad f(\widetilde{X}) \subseteq \widetilde{Y}$.$\quad \dim \widetilde{Y}=\dim Y-1$.
Envisager$f:\widetilde{X} \rightarrow \widetilde{Y}$.
Comment puis-je conclure que la fibre est la même? Veuillez résoudre ce problème.
Réponses
Supposons ici l'irréductibilité.
Étant donné que les ouvertures affines sont denses, en se limitant à une ouverture affine, soit vous manquez complètement une fibre, soit une fibre devient simplement un autre sous-ensemble dense d'elle-même (donc ne change pas de dimension). Pour une image en tête, considérez la projection triviale$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1\to\mathbb{P}^1$, où chaque fibre est une copie de$\mathbb{P}^1$. Si vous restreignez à une ouverture affine$\mathbb{A}^1\times\mathbb{A}^1$, la fibre devient$\mathbb{A}^1$ou vide (sur l'infini).
Intuitivement, si vous considérez la carte d'algèbre$f^*:B=\Gamma(Y)\to A=\Gamma(X)$, alors tout idéal maximal générique$\mathfrak{m}$correspond à un idéal premier$P$qui peut être étendu à une chaîne$P\subset P_1\subset\cdots \subset P_n$. Remarquerez que$f^*$devrait être injectif (pas tout à fait, mais supposons qu'ici), alors l'idéal maximal a une chaîne$P'_0\subset\cdots\subset P'_{\text{dim}(Y)}=\mathfrak{m}$, et l'image de ces nombres premiers est toujours première ; donc vous avez une longue chaîne de longueur$\dim(Y)+n$dans$\Gamma(X)$. Je ne sais pas s'il est plus facile de compléter ceci avec une preuve complète ...