Doute sur une question de probabilité: trouver la probabilité qu'un homme meure l'année prochaine

Question

Énoncé du problème : il y a$n$ Hommes $A_1,A_2,...,A_n$ chaque vieilli $x$ année et la probabilité que chacun d'entre eux meure l'année prochaine est $p$. Quelle est la probabilité que$A_1$ mourra l'année prochaine et sera-t-il le premier à mourir?

J'ai essayé de le résoudre comme ceci:
Laissez$P(A_i)=p=$ probabilité de $A_i$ mourir l'année prochaine; $P(\bar A_i)=$Probabilité de $A_i$ne pas mourir l' année prochaine
Let$E=$ événement qui $A_1$ meurt l'année prochaine et est le premier à mourir

$P(E)=P(A_1\cap \bar A_2\cap \bar A_3\cap...\cap \bar A_n)=P(A_1)(1-P(A_2))...(1-P(A_n)=p(1-p)^{n-1} \tag{1}$

Sinon, considérons $F=$ événement qui au moins l'un des $n$ les hommes meurent.
$P(F)=1-$ Probabilité que personne ne meure =$1-(1-p)^n$ et donc, probabilité que $A_1$ est le premier à mourir =$\frac{1-(1-p)^n}{n}\tag{2}$ (parce que chacun des hommes est également susceptible de mourir)

Je me demande pourquoi les deux réponses $(1)$ et $(2)$sont différents. Veuillez m'aider à comprendre. Merci.

Answer 1

$(1)$ Ne prend pas en compte le fait que plusieurs personnes peuvent mourir la même année et $A_1$soyez toujours le premier à en mourir. Par exemple, si nous savons que$A_1$ et $A_2$ mourir l'année prochaine, il y a un $1/2$ chance $A_1$ est mort le premier, et un $1/2$ chance $A_2$est mort le premier. Si$A_1$ et $A_2$ mourir l'année prochaine, et $A_1$ est décédé le premier, cela ne serait pas membre de l'événement $E$. Par conséquent$P(E)$ n'est pas la bonne réponse au problème. $(2)$ est un raisonnement correct.