Ergonomie en transformation

Nov 25 2020

Supposer $\Omega := [0,1]^{\mathbb Z}$ est équipé de la topologie du produit et doté du Borel $\sigma$-algèbre $\mathcal B(\Omega)$ et il y a une mesure de probabilité $\mathbb P$ sur $(\Omega,\mathcal B(\Omega))$ tel que le changement $T:\Omega \to \Omega$, $$T(\omega)(k) := \omega(k+1),\quad \omega\in\Omega,k\in \mathbb Z$$ est la mesure préservant, c.-à-d. $\mathbb P = \mathbb P \circ T^{-1}$ sur $\mathcal B(\Omega)$, et ergodique, ie $A=T^{-1}(A)$ implique $\mathbb P (A)\in\{0,1\}$ pour toute $A\in\mathcal B(\Omega)$. Maintenant, laisse$f:[0,1]^3\to[0,1]$ une fonction mesurable et $U:\Omega \to \Omega$ la transformation définie par $$ U(\omega)(k) := f(\omega(2k-1),\omega(2k),\omega(2k+1)),\quad \omega\in\Omega,k\in\mathbb Z.$$ Nous considérons la mesure de probabilité $\widetilde {\mathbb P}:= \mathbb P\circ U^{-1}$$U^{-1}$ désigne la préimage.

Puis par $T\circ U= U\circ T^2$, il tient que $(\Omega,\mathcal B(\Omega), \widetilde {\mathbb P},T)$est toujours un système dynamique préservant les mesures. Est-ce aussi ergodique?

Edit: Quels sont des exemples de mesures de probabilité$\mathbb P$ sur $\mathcal B(\Omega)$ et ensembles $A\in\mathcal B(\Omega)$ tel que $T^{-2}(A)=A$ mais $\mathbb P(A)\notin \{0,1\}$ (et donc forcément $T^{-1}(A)\neq A$)?

Réponses

2 maliesen Nov 26 2020 at 05:36

La réponse est négative: Soit \begin{align*} \mathbb P &:= \frac 1 2 \left(\delta_{\left(\mathbb 1_{2 \mathbb Z}(k)\right)_{k\in \mathbb Z}} + \delta_{\left(\mathbb 1_{2 \mathbb Z+1}(k)\right)_{k\in \mathbb Z}} \right), \\ A &:= \left\lbrace (1)_{k\in\mathbb Z} \right\rbrace ,\\ f(x,y,z) &:= y. \end{align*}

La probabilite $\mathbb P$ correspond à la chaîne de Markov irréductible sur l'espace d'états $\{0,1\}$ avec matrice de transition $P = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1& 0\end{pmatrix}$ qui a une distribution stationnaire unique $(\frac 1 2 \,\,\, \frac 1 2)$. À la lumière de la réponse à cette question math.SE le système dynamique$(\Omega,\mathcal B(\Omega),\mathbb P, T)$préserve la mesure et est ergodique (mais pas de mélange). Maintenant,$T^{-1}(A)=A$ mais $$U^{-1}(A) = \prod_{k\in \mathbb Z} \begin{cases} \{1\},&\quad k\in 2 \mathbb Z \\ [0,1],&\quad k\in 2\mathbb Z+1\end{cases}, $$ d'où $\widetilde{\mathbb P}(A) = \frac 1 2 $.