Erreur liée dans le PNT sous une hypothèse de type RH

Question

Dans les notes de cours, il y avait un exercice avec lequel j'ai du mal. Ici,$\psi$désigne la fonction Chebychev . j'ai supposé que$$\psi(x)-x\in o(x^{1-\varepsilon})$$pour certains$0<\varepsilon<1/2$(qui proviendrait d'une version moins forte de l'hypothèse de Riemann, c'est-à-dire une région sans zéro de la forme$\{\sigma>c\}$). En utilisant la sommation par parties, j'ai écrit$$\pi(x)=\frac{\psi(x)}{\log(x)}+\int_2^x\frac{\psi(t)}{t\log^2(t)}\text{d}t,$$ce qui m'a permis de prouver que$$\pi(x)-\text{Li}(x)\in O(x^{1-\varepsilon}).$$

Maintenant, dans la suite de l'exercice, on me demande de prouver que$$\pi(x)-\frac{x}{\log(x)}\notin o(x^{1-\delta})$$pour toute$\delta>0$(c'est le sens dans lequel$\text{Li}(x)$est une meilleure approximation de$\pi(x)$que simplement$\frac{x}{\log(x)}$). Comment prouver cela ?

Si je suppose l'inverse, c'est-à-dire$$\pi(x)-\frac{x}{\log(x)}\in o(x^{1-\delta})$$pour certains$\delta>0$, alors je n'ai aucune idée de la contradiction que je suis censé obtenir.

J'ai essayé les inégalités classiques :$$\pi(x)\log(x)\geqslant\psi(x)\geqslant\sum_{x^{1-\eta}\leqslant p\leqslant x}\log(p)=(1-\eta)[\pi(x)+O(x^{1-\eta})]\log(x),$$mais je doute que ça me mène nulle part. Quelqu'un a-t-il une astuce/idée ? L'exercice n'apporte rien à part quelques futilités .

Answer 1

Sur la base de ce que vous avez prouvé, nous avons$$ \pi (x) - \frac{x}{{\log x}} = \operatorname{Li}(x) + \mathcal{O}(x^{1 - \varepsilon }) - \frac{x}{{\log x}} = \operatorname{Li}(x) - \frac{x}{{\log x}} + \mathcal{O}(x^{1 - \varepsilon }). $$Maintenant, on peut montrer, en utilisant l'intégration par parties, que$$ \operatorname{Li}(x) = \frac{x}{{\log x}} + \frac{x}{{\log ^2 x}} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{x}{{\log ^3 x}}} \right). $$Par conséquent,$$ \pi (x) - \frac{x}{{\log x}} = \frac{x}{{\log ^2 x}} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{x}{{\log ^3 x}}} \right) + \mathcal{O}(x^{1 - \varepsilon }) = \frac{x}{{\log ^2 x}} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{x}{{\log ^3 x}}} \right) \notin o(x^{1 - \delta }). $$