Espérance conditionnelle avec conditionnement multiple
Pour tout camping-car$X$et$Y$:
$$E(Y|E(Y|X)) = E(Y|X)$$
Mais je n'arrive pas à le prouver. J'ai essayé d'utiliser la loi d'Adam avec un conditionnement supplémentaire ($E(Y|X) = E(E(Y|X,Z)|Z)$) mais je ne semble pas m'en sortir.
Ce que j'ai essayé est le suivant :
$$g(X) = E(Y|X)$$ $$E(Y|g(X)) = E(E(Y|X,g(X))|g(X))$$Depuis l'événement$X$arrivé et$g(X)$arrivés sont équivalents, conditionnés à la fois$X$et$g(X)$est le même que le conditionnement sur un seul d'entre eux. Y a-t-il une interprétation intuitive de cela ?
Cela signifie-t-il également que le conditionnement sur$X$ou toute fonction$g$de$X$est le même ?
Réponses
Il s'agit d'un cas particulier de la propriété Tower des attentes conditionnelles, qui affirme que si$\mathcal F_1\subset\mathcal F_2$alors$$ E[E[Y|\mathcal F_1]|\mathcal F_2] = E[E[Y|\mathcal F_2]|\mathcal F_1] = E[Y|\mathcal F_1]. $$Utilisez la seconde de ces égalités, avec$\mathcal F_1=\sigma(E[Y|X])$et$\mathcal F_2=\sigma(X)$.
L'argument que vous avez déjà est un assez bon argument de théorie de non-mesure. Je vais juste formaliser ça plus bas, ça peut aider à donner confiance sur certains détails.
En utilisant votre structure d'argument : Soit$g(X)=E[Y|X]$. Alors\begin{align} E[Y|g(X)] &\overset{(a)}{=} E[E[Y|g(X),X]|g(X)]\\ &\overset{(b)}{=} E[E[Y|X]|g(X)]\\ &=E[g(X)|g(X)]\\ &\overset{(c)}{=}g(X) \end{align}où (a) utilise la loi des attentes itérées ; (les autobus$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$; (c) utilise$E[Z|Z]=Z$pour toute variable aléatoire$Z$.$\Box$
L'étape (b) examinée de plus près est :$$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$$et cela signifie intuitivement que si nous savons déjà$X$, puis les informations complémentaires$g(X)$n'apporte rien de nouveau.
Remarques:
Conditionné sur$X$n'est généralement pas la même chose que le conditionnement sur$g(X)$, mais cela fonctionne dans ce problème particulier.
Une dérivation de la théorie de la mesure pourrait être donnée dans le sens de mon premier commentaire sur votre réponse. Vous pouvez également justifier$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$plus formellement par la théorie de la mesure ("l'algèbre sigma générée par$(g(X),X)$est la même que l'algèbre sigma générée par$X$").
Une définition formelle de la théorie de la mesure parle de "versions de" une attente conditionnelle, et je n'entre pas dans ces détails dans cette réponse (certaines personnes voudront peut-être remplacer mes égalités par des égalités qui tiennent "avec probabilité 1").