Espérance conditionnelle avec conditionnement multiple

Aug 17 2020

Pour tout camping-car$X$et$Y$:

$$E(Y|E(Y|X)) = E(Y|X)$$

Mais je n'arrive pas à le prouver. J'ai essayé d'utiliser la loi d'Adam avec un conditionnement supplémentaire ($E(Y|X) = E(E(Y|X,Z)|Z)$) mais je ne semble pas m'en sortir.

Ce que j'ai essayé est le suivant :

$$g(X) = E(Y|X)$$ $$E(Y|g(X)) = E(E(Y|X,g(X))|g(X))$$Depuis l'événement$X$arrivé et$g(X)$arrivés sont équivalents, conditionnés à la fois$X$et$g(X)$est le même que le conditionnement sur un seul d'entre eux. Y a-t-il une interprétation intuitive de cela ?

Cela signifie-t-il également que le conditionnement sur$X$ou toute fonction$g$de$X$est le même ?

Réponses

1 JohnDawkins Aug 16 2020 at 23:58

Il s'agit d'un cas particulier de la propriété Tower des attentes conditionnelles, qui affirme que si$\mathcal F_1\subset\mathcal F_2$alors$$ E[E[Y|\mathcal F_1]|\mathcal F_2] = E[E[Y|\mathcal F_2]|\mathcal F_1] = E[Y|\mathcal F_1]. $$Utilisez la seconde de ces égalités, avec$\mathcal F_1=\sigma(E[Y|X])$et$\mathcal F_2=\sigma(X)$.

1 Michael Aug 16 2020 at 23:03

L'argument que vous avez déjà est un assez bon argument de théorie de non-mesure. Je vais juste formaliser ça plus bas, ça peut aider à donner confiance sur certains détails.

En utilisant votre structure d'argument : Soit$g(X)=E[Y|X]$. Alors\begin{align} E[Y|g(X)] &\overset{(a)}{=} E[E[Y|g(X),X]|g(X)]\\ &\overset{(b)}{=} E[E[Y|X]|g(X)]\\ &=E[g(X)|g(X)]\\ &\overset{(c)}{=}g(X) \end{align}où (a) utilise la loi des attentes itérées ; (les autobus$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$; (c) utilise$E[Z|Z]=Z$pour toute variable aléatoire$Z$.$\Box$


L'étape (b) examinée de plus près est :$$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$$et cela signifie intuitivement que si nous savons déjà$X$, puis les informations complémentaires$g(X)$n'apporte rien de nouveau.


Remarques:

  • Conditionné sur$X$n'est généralement pas la même chose que le conditionnement sur$g(X)$, mais cela fonctionne dans ce problème particulier.

  • Une dérivation de la théorie de la mesure pourrait être donnée dans le sens de mon premier commentaire sur votre réponse. Vous pouvez également justifier$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$plus formellement par la théorie de la mesure ("l'algèbre sigma générée par$(g(X),X)$est la même que l'algèbre sigma générée par$X$").

  • Une définition formelle de la théorie de la mesure parle de "versions de" une attente conditionnelle, et je n'entre pas dans ces détails dans cette réponse (certaines personnes voudront peut-être remplacer mes égalités par des égalités qui tiennent "avec probabilité 1").