Est-ce que $M = \oplus_i M_i = \sum_j M'_j$ avec $M_i, M'_j$ simples implique $M_i \simeq M'_j$ pour certains je, j

Question

Laisser $M$ être un $R$-module. Nous supposons qu'il existe deux familles$(M_i)_i$ et $(M'_j)_j$ de sous-modules simples de $M$ tel que $$ M = \bigoplus_i M_i = \sum_j M'_j. $$ Y a-t-il des $i,j$ tel que $M_i \simeq M'_j$?

Answer 1

Pour plus de commodité, je vais laisser $I$ et $J$ être des ensembles d'index pour le $M_i$ et $M_j'$.

La réponse à votre question est oui, et en fait pour tout $j\in J$ nous pouvons trouver $i\in I$ avec $M_i\cong M_j'$. Pour voir ça, laissez$f:M_j'\hookrightarrow M$ être la carte d'inclusion et définir $f_i=\pi_i\circ f$ pour chaque $i\in I$, où $\pi_i:M\to M_i$est la carte de projection. Nous ne pouvons pas avoir tous$f_i$ identiquement zéro, ou bien $f$ serait identiquement nul, contredisant que $M_j'$est simple. Par conséquent, il y a$i$ avec $f_i$non nul. Mais toute carte non nulle entre des modules simples est un isomorphisme, donc$f_i$ est en fait un isomorphisme $M_j'\cong M_i$, comme voulu.

En fait, une déclaration similaire vaut pour $I$ au lieu de $J$: pour chaque $i\in I$, nous pouvons trouver $j$ avec $M_i\cong M_j'$. Ceci découle de (la preuve du) lemme 1 ici ; en effet, depuis$M=\sum_{j\in J}M'_j$, et chacun $M'_j$ c'est simple, il y en a $J'\subseteq J$ avec $M=\bigoplus _{j\in J'}M_j'$. Nous sommes maintenant en mesure d'appliquer exactement le même argument que ci-dessus, en considérant les compositions des projections$\pi_j:M\to M'_j$ (pour tous $j\in J'$) avec l'inclusion $M_i\hookrightarrow M$.