Est-il possible de faire du calcul et de la géométrie différentielle à l'ancienne, sans aucun cadre ou axe ortho? [fermé]
Edit: (Je n'ai pas voulu que cela soit une insulte ou un débat sur la meilleure ou la meilleure solution pour quoi, je pose juste une question pour mon intérêt et je crois en l'intérêt de la science, du moins pour la variété. Je n'idéalise aucun homme ni aucun travail, la seule raison pour laquelle j'ai évoqué principia est de m'éviter la peine de répondre à des séries interminables de questions sur la façon dont je calculerai pratiquement sans base, c'est pourquoi j'ai fait appel à la plus haute autorité en Ceci concerne.
Je sais que les coordonnées sont utiles lorsqu'elles sont utilisées correctement, je n'ai un problème que lorsque les gens disent que vous devez les utiliser dans des calculs pratiques et que cela ne peut pas être fait autrement. Les formulations invariantes sont les plus utiles à long terme, lorsqu'il s'agit d'unification de différents domaines et d'attaquer les problèmes les plus profonds qui nécessitent presque toujours un certain niveau d'unification. Si quelqu'un est vraiment intéressé par les détails, en particulier à des fins de recherche, je peux développer davantage.)
Fondamentalement sans coller de structure inexistante (non intrinsèque) sur un espace réel, qui pour la géométrie euclidienne est un espace affine euclidien de points. .
La façon dont ils ont fait la géométrie des anciens Grecs à Descartes.
Les coordonnées et leurs cartes sont à la base de la géométrie différentielle standard. La théorie est sans coordonnées, mais criblée d'objets non géométriques, et avec la nécessité de prouver que les objets géométriques ne sont pas simplement des absurdités de coordonnées.
Je recherche une théorie incluant les opérateurs différentiels qui s'appuie directement sur l'approche pré-Descartes de la géométrie.
Newton a développé tout le principia mathématique de cette façon, et je crois qu'il aurait pu utiliser le calcul avec cette approche géométrique.
Existe-t-il une telle exposition qui traiterait des opérateurs différentiels comme la dérivée covariante, les champs vectoriels et les formes différentielles, sans supposer aucune géométrie analytique (coordonnée)
Réponses
The Geometry of Geodesics , par Herbert Busemann, propose une approche purement intrinsèque d'une grande partie de la géométrie différentielle, à travers des axiomes sur la métrique.
Il ne définit pas de dérivées covariantes - mais il définit les géodésiques sans elles, comme des cartes préservant la longueur de la ligne réelle.
Il ne définit pas les champs vectoriels - mais il analyse les mouvements, qui sont un analogue fini de cette notion infinitésimale.
Il ne définit pas les formes différentielles - mais définit la courbure scalaire de manière synthétique.
Busemann a ensuite prouvé tout un livre de théorèmes impressionnants sur cette base. (J'ai donné quelques exemples à Caractérisations de l'espace euclidien ) Si vous voulez un résultat en géométrie riemannienne que vous pouvez énoncer sans définitions de coordonnées, vous y trouverez probablement une preuve.
Je pense que vous posez une question raisonnable, mais beaucoup n'aiment pas votre façon de la poser. Elle serait mieux reçue si vous pouviez l'exprimer de manière plus rigoureuse et mathématique et montrer que vous y avez réfléchi plus profondément que votre libellé ne l'indique. Après tout, c'est un forum de recherche en mathématiques. Mais laissez-moi faire quelques commentaires.
La première chose est Newton contre Descartes. Je n'ai jamais lu les œuvres de Newton, donc je peux me tromper. Mais puisque Descartes a précédé Newton, je crois que Newton a dû embrasser les coordonnées cartésiennes et les utiliser dans ses travaux sur le mouvement planétaire et la forme de la terre. N'est-ce pas vrai?
Quant au développement de la géométrie différentielle sans coordonnées, de nombreux mathématiciens, dont moi, ont essayé. Je ne sais pas si vous parlez de surfaces dans l'espace euclidien ou d'espaces abstraits connus sous le nom de variétés. Dans les deux cas, j'ai l'impression que les étapes les plus difficiles sont au début. Tout d'abord, vous devez développer un calcul multivariable sans coordonnées. Cela peut être fait mais cela en vaut-il la peine? Pas pour autant que je sache, mais vous pouvez voir si vous pouvez le faire. Je pourrais certainement me tromper à ce sujet. Deuxièmement, il définit ce qu'est une surface ou une variété.
Certains mathématiciens très abstraits ont réussi à faire cela pour des variétés, mais vous perdez toute intuition géométrique et vous vous retrouvez dans un monde très algébrique. Cela vaut-il la peine? Aussi, pas pour autant que je sache. Après avoir défini une variété, vous pouvez travailler sur les principes fondamentaux de la géométrie riemannienne en utilisant uniquement des champs vectoriels abstraits. Ceci est démontré à la fois dans la monographie de Milnor Morse Theory et dans le livre de Cheeger et Ebin, Comparison Theorems in Riemannnian Geometry .
Comme pour une surface dans l'espace euclidien, vous pouvez d'abord définir l'espace euclidien comme un espace vectoriel abstrait avec un produit interne. Ensuite, vous pouvez définir une surface comme étant l'ensemble de niveaux d'une fonction dont le gradient est différent de zéro et travailler avec des dérivées de la fonction (sans utiliser de coordonnées). La géométrie de la surface peut maintenant être dérivée de l'étude des courbes de la surface et de leurs dérivées. Une partie est très agréable, mais certains aspects sont encore plus faciles à calculer et à comprendre à l'aide de coordonnées. En particulier, il est difficile d'élaborer des exemples sans utiliser de coordonnées.
Cependant, à long terme, ce que les géomètres différentiels professionnels découvrent est le suivant: Notre objectif principal est de prouver de nouveaux théorèmes intéressants aussi efficacement que possible. L'approche la plus efficace dépend des circonstances spécifiques. Nous abandonnons donc l'idéologie et apprenons de manière pragmatique à toutes les utiliser. Nous basculons entre eux au besoin. Le fait est donc que l'utilisation de coordonnées est souvent le moyen le plus simple. La raison fondamentale en est la commutation des dérivés partiels. Ce fait est fondamental et utilisé tout le temps. Sans utiliser de coordonnées ou de formes différentielles (comme lors de l'utilisation de cadres orthonormés), ce fait est difficile à utiliser efficacement.
Je continue à penser à tout cela dans le cadre de l'enseignement de la géométrie différentielle. Je suis d'accord que les coordonnées peuvent souvent obscurcir ce qui se passe réellement. Je n'aime pas la plupart des manuels sur la géométrie différentielle élémentaire. J'essaie donc de penser à des approches sans coordonnées qui éclairent mieux la géométrie. Parfois je réussis. Sinon, ce sont des coordonnées ou des cadres orthonormés. Tout ce qui fonctionne le mieux.
Il est possible de faire de la géométrie différentielle de manière purement intrinsèque, au moins une fois que vous avez dépassé l'obstacle initial de définir ce qu'est une variété. La définition standard d'une variété est un deuxième espace dénombrable, Hausdorff, localement euclidien , donc les graphiques de coordonnées apparaissent naturellement (en raison de cette dernière partie). Il est peut-être possible d'éviter complètement les graphiques, mais cela nécessite presque une nouvelle définition de variété. Mais une fois que vous avez surmonté ce problème, vous pouvez faire tout le reste sans coordonnées, si vous le souhaitez.
La vraie raison pour laquelle la plupart des géomètres ne le font pas est que cela rend les calculs explicites extrêmement difficiles. Les approches et la notation intrinsèques ont un attrait philosophique, mais ne conviennent pas à de nombreuses applications, où vous devrez peut-être calculer six ou sept dérivés. Choisir un diagramme de coordonnées pratique (ou un cadre orthonormé) pour faciliter l'analyse vaut absolument la perte de simplicité conceptuelle. En fait, il y a des aperçus qui peuvent être trouvés en utilisant un choix particulier de coordonnées qui sont presque impossibles à voir (ou fondamentalement plus difficiles à prouver) en utilisant une approche plus abstraite.