Est-il possible de résoudre cette équation en utilisant la fonction Lambert W?

Aug 16 2020

Je suis tombé sur une équation qui doit être résolue pendant que je travaillais sur un projet scolaire. J'ai essayé d'utiliser le Lambert$W$fonction pour résoudre l'équation suivante mais je n'ai eu aucun succès. Est-il même possible de résoudre pour$x$ sans méthodes numériques?

$$ ax+(bx-c)e^{kx}=d $$

Réponses

RobertIsrael Aug 16 2020 at 23:18

Il ne semble pas possible de résoudre ce problème en général avec Lambert W.Il serait possible si $a$ ou $b$ était $0$.

Vous pouvez essayer une solution en série si l'un des paramètres peut être considéré comme petit. Ainsi une série de puissances de$k$ est

$$ x = {\frac {c+d}{a+b}}+{\frac { \left( c+d \right) \left( ac-db \right) }{ \left( a+b \right) ^{3}}}k+{\frac { \left( c+d \right) \left( 3\,a c+ad-bc-3\,db \right) \left( ac-db \right) }{2\, \left( a+b \right) ^ {5}}}{k}^{2}+\ldots $$

ClaudeLeibovici Aug 17 2020 at 12:24

D'un point de vue formel, vous pouvez le faire.

Réécrivez l'équation comme $$e^{-kx}=-\frac ba \,\,\frac{x-\frac{b}{c}} {x-\frac{d}{a} }$$qui a une solution en termes de fonction de Lambert généralisée .

Jetez un œil à l'équation $(4)$ dans l'article lié.

C'est bien mais pas très utile d'un point de vue pratique.

Puisque vous aurez besoin d'une méthode numérique, vous avez besoin d'une estimation pour trouver le (s) zéro (s) de la fonction

$$f(x)=ax+(bx-c)e^{kx}-d$$. Le premier dérivé étant$$f'(x)=a+e^{k x} (b k x+b-c k)$$ il s'annule à $$x_*=\frac{W\left(t\right)}{k}+\frac{c}{b}-\frac{1}{k}\qquad \text{where} \qquad t=-\frac{a }{b}e^{1-\frac{c k}{b}}$$ Si $x_*$existe, effectuez une expansion de Taylor autour de ce point pour obtenir une estimation $$x_0=x_* \pm \sqrt{-2 \frac {f(x_*)}{f''(x_*)}}$$

Essayons avec $a=1$, $b=2$, $c=3$, $d=4$, $k=5$.

Cela donnera $$x_*=\frac{1}{10} \left(2 W\left(-\frac{1}{2 e^{13/2}}\right)+13\right)\approx 1.29985$$

ensuite $x_0=1.58434$ tandis que la solution exacte est $x=1.50069$.

Depuis que nous avons $x_0$, regardons la méthode de Newton itère; ils seront$$\left( \begin{array}{cc} n & x_n \\ 0 & 1.58434 \\ 1 & 1.52533 \\ 2 & 1.50339 \\ 3 & 1.50072 \\ 4 & 1.50069 \end{array} \right)$$