Est-il toujours possible de partitionner $[a,b]\times[c,d]$ en blocs disjoints $D_{ij}$ st $\left.f\right|_{D_{ij}}$ est bijectif?

Aug 17 2020

Considérons la fonction donnée par $f:[a,b]\times[c,d]\to[0,1]^{2}$ tel que $0\leq a < b \leq 1$, $0 \leq c < d \leq 1$.

De plus, nous avons aussi cela $f\in C^{1}([a,b]\times[c,d],[0,1]^{2})$ et c'est surjectif.

Ma question

Est-il toujours possible de partitionner $[a,b]\times[c,d]$ en blocs disjoints $D_{ij} = [x_{i},x_{i+1}]\times[y_{j},y_{j+1}]$, où $1\leq i \leq m$ et $1\leq j\leq n$, tel que $\left.f\right|_{D_{ij}}$ est bijectif?

Si oui, y a-t-il un nombre minimum de blocs $D_{ij}$ qui satisfont cette restriction?

Ici, j'assume la fonction $f$ n'est constant nulle part et $|f^{-1}(\{(x,y)\})| < N$ pour chaque $(x,y)\in[0,1]^{2}$.

Une telle question n'est pas un devoir. Cela découle de mes recherches personnelles.

Si cette question ne convient pas à ce site, merci de me le faire savoir.

ÉDITER

La question complémentaire à ce sujet est abordée ici .

Réponses

2 IosifPinelis Aug 18 2020 at 00:58

La réponse est non.

Par exemple, laissez $[a,b]=[c,d]=[0,1]$ et $$f(x,y):=(g(x),y)$$ pour $(x,y)\in[0,1]^2$, où $$g(x):=c\,h(x),$$ $$h(x):=x^p (1+a \sin\ln x)$$ pour $x\in(0,1]$ avec $h(0):=0$, $$p\in(1,\infty),\quad1>a>\frac p{\sqrt{p^2+1}},\tag{0}$$ et $c:=1/\max_{x\in[0,1]}h(x)$. ensuite$f$ est un surjectif $C^1$ carte de $[0,1]^2$ à $[0,1]^2$.

Aussi, pour tout $(x,y)\in[0,1]^2$, tout $u\in(0,1]$, et n'importe quel $v\in[0,1]$ l'égalité $f(x,y)=(u,v)$ implique $y=v$ et $$\Big(\frac{u/c}{1+a}\Big)^{1/p}\le x\le\Big(\frac{u/c}{1-a}\Big)^{1/p}$$ et donc $$\frac{\ln(u/c)}p-\frac{\ln(1+a)}p\le \ln x\le\frac{\ln(u/c)}p-\frac{\ln(1-a)}p,\tag{1}$$ pour que $\ln x$ varie au plus de $\frac{\ln(1+a)}p-\frac{\ln(1-a)}p=O(1)$ uniformément dans $u\in(0,1]$.

Également, $$g'(x)=cx^{p-1} [p+a (p \sin\ln x+\cos\ln x)] \\ =cx^{p-1} [p+a\sqrt{p^2+1}\,\sin(t+\ln x)]\tag{2}$$ pour du vrai $t$ (en fonction uniquement de $p$ et $a$) et tout $x\in(0,1]$.

Donc, étant donné la condition (1), $g'(x)$ ne peut pas changer le signe plus de $n$ fois, pour certains naturels $n$ dépendant uniquement de $p$ et $a$. Par conséquent,$|f^{-1}(u,v)|\le n+1$ pour toute $(u,v)\in(0,1]\times[0,1]$. Également,$f^{-1}(0,v)=\{(0,v)\}$ pour toute $v\in[0,1]$. Alors,$|f^{-1}(u,v)|\le n+1$ pour toute $(u,v)\in[0,1]\times[0,1]$.

En revanche, il résulte de (2) et (0) que $g'$ change le signe une infinité de fois dans n'importe quel bon voisinage de $0$. Par conséquent, la restriction de$f$ à n'importe quel rectangle avec un sommet à $(0,0)$ n'est pas bijective.


Pour une illustration, ci-dessous sont les graphiques $\{(e^{-1/t},\ln h(e^{-1/t}))\colon0<t<1\}$ (à gauche) et $\{(e^{-1/t},\ln h(e^{-1/t}))\colon0<t<0.1\}$ (bon pour $p=3/2$ et $a=9/10$. Ces graphiques sont des versions redimensionnées non linéairement (horizontalement et verticalement, pour une meilleure perception) d'un graphique de la fonction$h$ dans un bon quartier de $0$.