Est la densité asymptotique des entiers positifs $n$ satisfaisant $\gcd(n, \sigma(n^2))=\gcd(n^2, \sigma(n^2))$ égal à zéro?

Question

(Cet article est une émanation de cette question MSE .)

Laisser $\sigma(x)$ dénotent la somme des diviseurs de $x$. (https://oeis.org/A000203)

QUESTION

Est la densité asymptotique des entiers positifs $n$ satisfaisant $\gcd(n, \sigma(n^2))=\gcd(n^2, \sigma(n^2))$ égal à zéro?

J'ai essayé de chercher des exemples et des contre-exemples à l'équation $$\gcd(n, \sigma(n^2))=\gcd(n^2, \sigma(n^2))$$via Sage Cell Server , il m'a donné cette sortie pour le script Pari-GP suivant :

for(x=1, 100, if(gcd(x,sigma(x^2))==gcd(x^2,sigma(x^2)),print(x)))

Tous les entiers positifs de $1$ à $100$ (sauf pour l'entier $99$) satisfaire $\gcd(n, \sigma(n^2))=\gcd(n^2, \sigma(n^2))$.

Généraliser le premier (contre) exemple de $99$ est trivial.

Si ${3^2}\cdot{11} \parallel n$, puis $11 \parallel \gcd(n,\sigma(n^2))$ et $11^2 \parallel \gcd(n^2,\sigma(n^2))$. La densité asymptotique en question est donc inférieure à$$1-\frac{2}{3^3}\cdot\frac{10}{11^2} = \frac{3247}{3267} \approx 0.993878.$$

Également si $3 \parallel n$, puis avec probabilité $1$ il existe deux nombres premiers distincts $y$ et $z$ congru à $1$ modulo $3$ tel que $y \parallel n$ et $z \parallel n$. Dans ce cas, nous obtenons$3 \parallel \gcd(n,\sigma(n^2))$ et $3^2 \parallel \gcd(n^2,\sigma(n^2))$. La densité asymptotique en question est donc inférieure à$$1-\frac{2}{3^2} = \frac{7}{9} \approx 0.\overline{777}.$$

Le vrai problème ouvert est de savoir si la densité asymptotique est $0$.

Answer 1

Je pense que la densité descend à zéro, mais assez lentement. Si$p \equiv 1 \bmod 6$ est premier alors il y a deux solutions $0<r<s<p-1$ de $$x^2+x+1=0 \bmod p$$

Si $p\parallel n$ puis, avec probabilité $1,$ il y a deux nombres premiers distincts $x $ et $ y,$ chaque congru à $r \bmod p,$ avec $x \parallel n$ et $y \parallel n.$ (L'un ou l'autre ou les deux peuvent être congruents à $s$ ainsi que.)

ensuite $p \parallel \gcd(n,\sigma(n^2))$ tandis que $p^2 \parallel \gcd(n^2,\sigma(n^2)).$ Donc, la densité asymptotique pour que cela ne se produise pas est $1-\frac{p-1}{p^2}<1-\frac{1}{p+2}$

Si nous pouvons affirmer que la probabilité qu'aucun de ces événements ne se produise est asymptotiquement $\prod(1-\frac{p-1}{p^2})$ sur les nombres premiers congruents à $1 \bmod 6,$ alors cette densité asymptotique est $0.$