Est le Dirac $\delta$-fonction forcément symétrique?

Question

Le Dirac $\delta$-fonction est définie comme une distribution qui satisfait ces contraintes:

$$ \delta (x-x') = 0 \quad\text{if}\quad x \neq x' \quad\quad\text{and}\quad\quad \delta (x-x') = \infty \quad\text{if}\quad x = x'$$

$$\int_{-\infty} ^{+\infty} \delta(x-x')\, dx = 1 $$

Certains auteurs ont également mis une autre contrainte que Dirac $\delta$-fonction est symétrique, c'est-à-dire $\delta(x)=\delta(-x)$

Maintenant ma question est la suivante: devons-nous imposer séparément la contrainte que le Dirac $\delta$-fonction est symétrique ou provient-elle automatiquement d'autres contraintes?

Eh bien, pour illustrer clairement ma requête, je vais définir une fonction comme celle-ci: $$ ξ(t)=\lim_{\Delta\rightarrow0^+} \frac{\frac{1}{3}{\rm rect}\left(\frac{2x}{\Delta}+\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{3}{\rm rect}\left(\frac{2x}{\Delta}-\frac{1}{2}\right)}{\Delta} $$ où ${\rm rect}(x)$ est défini comme: $$ {\rm rect}(x)= 1 \quad\text{if}\quad |x| < \frac{1}{2} \quad\quad\text{and}\quad\quad {\rm rect}(x)= 0 \quad\text{elsewhere}. $$ $ξ(t)$ n'est certes pas symétrique, mais satisfait aux conditions suivantes, $$ ξ(t)= 0 \quad\text{if}\quad t \neq 0 \quad\quad\text{and}\quad\quad ξ(t)= \infty \quad\text{if}\quad t = 0$$ $$\int_{-\infty} ^{+\infty} ξ(t)\,dt = 1 $$

Maintenant, ma question est, pouvons-nous définir $ξ(t)$ comme fonction Dirac Delta ou pas?

Answer 1

La "fonction delta" n'est pas une fonction, mais une distribution. La distribution est une prescription pour attribuer un numéro à une fonction de test. Cette distribution peut mais ne doit pas avoir des valeurs de fonction au sens ordinaire. En cas de distribution delta, il n'a pas de valeurs de fonction.

Donc déclaration comme

$$ \delta(x) = \delta(-x) \quad\text{for all }x \tag{*} $$ signifiant "valeur de $\delta$ à $x$ égale la valeur de $\delta$ à $-x$"est dénué de sens / invalide.

Mais déclaration $$ \int dx~ \delta(x) f(x) = \int dx~\delta(-x) f(x) \quad \text{for all functions }f \tag{**} $$ peut être valide.

Vous pouvez facilement vérifier que la fonction de $\Delta$ et $x$ (l'expression après le signe limite dans la définition de $\xi$) ne satisfait aucune de ces deux affirmations (dans le rôle de $\delta$). Ce n'est donc pas "symétrique".

La distribution delta ne peut hypothétiquement satisfaire que la deuxième instruction. Le fait-il?

Nous pouvons évaluer les deux côtés de l'égalité. Le côté gauche a une valeur, par définition de$\delta(x)$, $f(0)$.

Nous pouvons transformer l'intégrale de droite en $$ \int dx~\delta(-x) f(x) = \int dy~\delta(y) f(-y) $$ Par définition de $\delta(y)$, la valeur de cette intégrale est $f(0)$, le même que le côté gauche. Donc (**) est satisfait.

L'équation $\delta(x) = \delta(-x)$ est donc la conséquence de la définition de $\delta(x)$, ce n'est pas une hypothèse indépendante.

Votre fonction $\xi$ peut aussi obéir à la deuxième déclaration (et donc être symétrique dans ce sens), même si le $\Delta$-expression dépendante après le signe de limite ne le fait pas. Ceci est similaire pour les autres approximations de la distribution delta; l'approximation peut ne pas avoir les propriétés de$\delta$ (comme la symétrie), mais la limite le fait.

Answer 2

Le symbole $$\delta(x\!-\!y)\tag{A}$$ avec deux arguments $x,y\in\mathbb{R}$est une notation de noyau informelle pour la distribution delta de Dirac $$u~\in~ D^{\prime}(\mathbb{R}^2)\tag{B}$$ défini comme

$$u[f]~:=\int_{\mathbb{R}}\!\mathrm{d}z~f(z,z)\tag{C}$$

pour les fonctions de test $$f~\in~ D(\mathbb{R}^2).\tag{D}$$ Il s'ensuit que le delta de Dirac défini comme ci-dessus est symétrique $$ \delta(x\!-\!y)~=~\delta(y\!-\!x), \tag{E}$$cf. Question de titre d'OP.

Answer 3

La fonction Delta est une distribution, définie sur un ensemble de fonctions. Les mathématiciens expriment généralement cela en utilisant la notation bra-ket, où la fonction delta est le soutien-gorge$<\delta|$ et $$<\delta| f> = \int \delta(x) f(x) dx = f(0)$$

Si vous parlez de l'ensemble des fonctions continues, je pense que vous n'auriez pas besoin de l'exigence de symétrie. Mais ce n'est généralement pas le cas. En mécanique quantique, nous utilisons l'ensemble des fonctions carrées intégrables; c'est une exigence légère, qui permet des discontinuités.

Maintenant, si vous envisagez des fonctions qui peuvent être discontinues à zéro, vous devez définir explicitement ce qu'il faut faire, la distribution delta symétrique doit être

$$ <\delta | f > = \frac{f(0^+)+f(0^-)}2 $$

et vous pourriez avoir d'autres «fonctions delta» différentes qui fonctionnent de la même manière dans les fonctions continues, mais qui fonctionnent différemment en cas de discontinuité.

BONUS: en mécanique quantique unidimensionnelle, vous avez tout un ensemble de «barrières de potentiel de type delta» définies par les multiples façons de se connecter $\Psi'(0^+),\Psi(0^+)$ à $\Psi'(0^-),\Psi(0^-)$. La nomenclature est un cauchemar ici, en raison d'erreurs dans les manuels. Chaque "delta" ou "barrière supportée en un seul point" peut être vu comme une règle pour rejoindre les intervalles$(-\infty, 0)$ et $(0, \infty)$.