Existe-t-il un outil mathématique spécifique ou un domaine mathématique utile pour étudier ou créer une preuve d'irrationalité?

Aug 18 2020

Il semble que, en général, l'irrationalité ou les preuves transcendantales de certaines constantes «difficiles», comme $e,\pi$ ou $e^\pi$, repose sur la démonstration qu'il y a un entier dans $(0,1)$. Mais il semble qu'il n'y ait pas de moyen cohérent d'atteindre cette contradiction.

Une sorte de preuve cohérente de l'irrationalité (la seule peut-être) est l'utilisation des «intégrales de Beukers» qui peuvent être utilisées pour montrer que ces nombres suivants sont irrationnels: $\ln 2, e, \pi^2, \zeta(2),\zeta(3) $. Fondamentalement, vous devez construire une intégrale$I_n$, tel que, $I_n = (a_n\xi+b_n)/d_n$, où $a_n,b_n,d_n$ sont des entiers et $d_nI_n \to 0$ comme $n$grossit, montrant ainsi un entier entre zéro et un. Cependant, je pense que cette méthode a été traite à mort et a atteint ses limites.

La preuve d' Apery pour$\zeta(3)$utilise pour cela une série convergente rapide. Mais il semble que cette preuve soit «isolée», en ce sens qu'elle ne peut pas être répliquée dans une autre constante. On dirait que toutes les preuves d'irrationalité sont «isolées» dans ce sens. Ils manquent tous de similitudes, à l'exception de la méthode de Beukers mentionnée.

Existe-t-il un outil mathématique spécifique ou un domaine mathématique utile pour étudier ou créer une preuve d'irrationalité?

Par exemple, cet article comprend des résultats généraux et particuliers en théorie des nombres transcendantaux avec quelques preuves.

Réponses

1 DietrichBurde Aug 18 2020 at 16:59

Il est certain que plusieurs domaines sont prometteurs pour trouver une preuve, pour, par exemple, la conjecture que $\zeta(3),\zeta(5),\zeta(7),\ldots$sont tous irrationnels. En particulier, les méthodes théoriques des nombres combinées à la combinatoire (méthodes asymptotiques) pourraient être utiles. Ceci est soutenu par la preuve de Zudilin , qui a montré le résultat suivant avec ces méthodes:

Proposition: l' un des nombres$ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11)$ est irrationnel.

Il a également une preuve très élémentaire d'un résultat plus faible ici .