Explication de la dérivation de la formule pour la somme d'une suite arithmétique des n premiers termes
J'essaie de comprendre la dérivation de la formule pour la somme d'une séquence arithmétique du premier $n$ termes.
Je ne comprends pas quelles règles ou quels raisonnements permettent d'ajouter deux séquences dans l'ordre inverse pour éliminer la différence commune $d$ et arriver à la conclusion que la somme d'une suite arithmétique du premier $n$ les termes sont la moitié $n$fois la somme des premier et dernier termes. Cela semble être un moyen artificiel d'éliminer la différence commune de l'élargissement sur la base d'une connaissance inexpliquée de$d$ et les séquences arithmétiques en général.
J'ai fait des recherches sur cette question dans des manuels de mathématiques et en ligne et chaque fois que la dérivation est présentée, je n'arrive pas à trouver une explication quant à la raison pour laquelle il serait évident pour un mathématicien qu'en ajoutant les séquences, il dériverait la formule.
L'arrière-plan.
La dérivation de la formule telle qu'expliquée dans de nombreux manuels et sites en ligne est la suivante.
- Pour trouver la somme d'une séquence arithmétique pour la première $n$ termes $S_n$, on peut écrire la somme par rapport au premier terme $a_1$ et la différence commune $d$.
$$ S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + ... + a_n $$
- Il est également possible d'écrire la séquence dans l'ordre inverse par rapport au dernier terme $a_n$.
$$ S_n = a_n + (a_n - d) + (a_n - 2d) + (a_n - 3d) + ... + a_1 $$
- Lorsque nous additionnons ces séquences, nous dérivons la formule de la somme des n premiers termes d'une séquence arithmétique.
$$ \begin{array}{r} S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + \ldots + a_n \\ + \,S_n = a_n + (a_n - d) + (a_n - 2d) + (a_n - 3d) + \ldots + a_1 \\ \hline 2S_n = (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) + (a_1 + a_n) \ldots \end{array} $$
- Parce qu'il y a $n$ de nombreux ajouts de $(a_1 + a_n)$ la longue somme est simplifiée comme $n(a_1 + a_n)$ et la résolution de $S_n$ nous arrivons à la formule.
$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$
Malheureusement, je n'arrive pas à trouver le raisonnement dans aucune de ces explications quant à la raison pour laquelle les deux séquences (ordre ordinaire et inverse) ont été ajoutées. Il est logique pour moi qu'ils aient été ajoutés, mais pas pourquoi c'était la prochaine étape logique lors de l'élaboration de la formule.
La question.
Pourquoi les deux séquences ont-elles été ajoutées pour dériver la formule et qu'est-ce que cela montre sur la nature des séquences arithmétiques?
Dans ma tentative de comprendre cela, j'ai noté qu'en étudiant de nombreuses séquences, nous pouvons voir que le rapport de la somme de la séquence pour la première $n$ termes $S_n$ et la somme des premier et dernier termes $(a_1 + a_n)$ est toujours $\frac{n}{2}$pour toute séquence arithmétique. Donc peut-être pourrait-on dire par induction que si pour une séquence arithmétique il est vrai que:
$$ \frac{S_n}{a_1 + a_n} = \frac{n}{2} $$
Ensuite, il doit également être vrai que:
$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$
Cependant, pour moi, cela n'explique toujours pas pourquoi la dérivation décide d'ajouter les deux séquences.
Réponses
La commutativité de l'addition vous permet de permuter la somme de deux addends. Par récurrence sur le nombre d'additifs, vous pouvez l'étendre à n'importe quel nombre fini d'additifs. L'associativité vous permet ensuite de les regrouper comme vous le souhaitez.
Pensez à la somme des nombres de triangle. Pour ajouter les n premiers nombres, vous prenez le premier et le dernier et vous les combinez pour obtenir n + 1, puis vous faites de même pour le deuxième et l'avant-dernier pour obtenir n + 1. Pour un visuel de ce processus, regardezhttps://en.wikipedia.org/wiki/Triangular_number. Ici, dans votre question, votre triangle est un peu déséquilibré et n'arrive pas à un point, mais l'idée reste la même :).