Expliquer ce que signifie pour un polynôme d'être irréductible sur F

Question

Soit F un corps et soit F [x] l'anneau de polynômes dans un x indéterminé avec des coefficients dans F. Expliquez ce que signifie qu'un polynôme g (x) dans F [x] est irréductible sur F.

Je pense comme ça (très important pour bien faire les choses):

Cela signifie que le polynôme de degré n> = 1 à coefficients dans un champ F est dit irréductible sur F s'il ne peut pas être écrit comme un produit de deux polynômes non constants sur F de degré inférieur à n.

Assez pour le faire correctement? Ou peut-être ajouter une ligne sur le fait qu'ils sont tous des nombres premiers?

Answer 1

Vous n'avez pas besoin de déclarer qu'il a une factorisation en nombres premiers avec au moins deux facteurs, mais c'est équivalent pour les anneaux polynomiaux.

Dans un anneau général, un élément $r$est irréductible si, chaque fois qu'il est écrit comme$r=ab$, exactement l'un des $a$ et $b$est inversible. L'écriture$r\mid a$ s'il existe $b$ tel que $r=ab$, une autre façon de dire ceci est que $r$ est irréductible si, à tout moment $a\mid r$, $r\mid a$.

Ceci est différent de prime, qui est: $r$est premier si$r$ n'est pas nul de inversible et, chaque fois $r\mid ab$, $r\mid a$ ou $r\mid b$.

Dans un domaine intégral (avec unité) $R$, chaque premier est irréductible, mais tous les irréductibles n'ont pas besoin d'être premiers. Pour voir que chaque prime est irréductible, supposons que$r$ est premier et $r=ab$. Depuis$r=ab$, certainement $r\mid ab$. Donc$r\mid a$ ou $r\mid b$, sans perte de généralité $r\mid a$. Donc$a=rs$ pour certains $s$, Et ainsi $$ r=ab=rsb.$$ Depuis $R$ est un domaine intégral et $r(1-sb)=0$, on voit ça $sb=1$. En particulier,$b$ est inversible, de sorte que $r$ est irréductible.

Les anneaux où chaque irréductible est premier sont des domaines de factorisation uniques , ou UFD. Cela équivaut à l'affirmation selon laquelle chaque élément$r\in R$a une factorisation en irréductibles, et les irréductibles qui apparaissent dans cette factorisation sont uniques jusqu'à la réorganisation et la multiplication par des éléments inversibles.

Les anneaux polynomiaux (dans potentiellement de nombreuses variables) sur des champs sont des exemples d'UFD, donc pour les anneaux polynomiaux, il existe plusieurs définitions potentielles d'irréductible.