Faire une matrice $M(c)=N(c)-L(c)$ défini positif en choisissant un scalaire $c$, où $N(c)$ est semi-défini positif

Question

Laisser $P\in\mathbb{R}^{n\times m}$ avec $n>m$ et $Q\in\mathbb{R}^{n\times k}$ avec $n>k$ tel que $P^T P = I_m$ et $Q^T Q = I_k$. Aussi, supposez$\text{ker}P^T \cap \text{ker}Q^T = \emptyset$. Ensuite, prouvez l'affirmation suivante:

Il existe $c>1$ telle que la matrice $$M = (I_n - cQQ^T) PP^T (I_n - cQQ^T) - (I_n - cQQ^T)$$est défini positivement. (C'est,$v^T M v > 0$ pour tous $v\in\mathbb{R}^n$ tel que $v\neq 0$ ou, de manière équivalente, toutes les valeurs propres de $M$ sont dans le plan semi-complexe droit ouvert.)

L'affirmation ci-dessus est-elle vraie ou fausse? Si c'est vrai, comment le prouver?

Remarque 1. La matrice$(I_n - cQQ^T) PP^T (I_n - cQQ^T)$ est semi-défini positif pour tous $c$ parce que c'est sous la forme de $H^T H$.

Remarque 2. La matrice$(I_n - cQQ^T)$ est semi-défini positif pour $c=1$ et défini positif pour $0\leq c <1$. Mais puisque nous considérons$c>1$, il s'agit d'une matrice non définie, ce qui signifie qu'elle a des valeurs propres positives et négatives.

Answer 1

Laisser $P=w=Q$ avec $\|w\|=1$, $c>1$, et laissez $v\cdot w=0$, $v\ne0$. ensuite$$Mv=(I-cww^T)ww^T(I-cww^T)v-(I-cww^T)v=-v$$ $$\therefore v^TMv<0$$

Plus généralement, si $v\in\ker P^T\cap\ker Q^T$, puis $v^TMv\le0$.

---

Répondre à la question modifiée avec $\ker P^T\cap\ker Q^T=\{0\}$.

Laisser $m=1$, $n>2$, laisser $P=w$ avec $\|w\|=1$; laisser$Q$ être tel que $Q^Tw=0$. Puis, comme avant$Mw=0$.