Famille de fonctions avec $f(0) = 0$ et $f(\mathbb{D}) \cap [1,2] = \emptyset$ Est normal
J'ai la question suivante
Laisser $B$ être l'ensemble des fonctions $f$, qui sont analytiques sur le disque de l'unité $\mathbb{D}$ et satisfaire les deux $f(0) = 0$ et $f(\mathbb{D}) \cap [1,2] = \emptyset$. Prouve-le$B$ est une famille normale.
Il y a quelques éléments de ma réponse dont je ne suis pas sûr.
Considérez la famille traduite $g(z) = f(z) - 1$ qui prend des valeurs dans $\mathbb{C} - [0,1]$. Depuis$g(\mathbb{D})$ est simplement connectée et non nulle, nous pouvons définir des branches analytiques à valeur unique de $\sqrt{g(z)}$ dans $g(\mathbb{D})$. Une fois que nous prenons une racine carrée, toutes les valeurs de$\sqrt{g(z)}$sont contenus dans un demi-plan où la ligne séparant les demi-plans contient l'origine. Ensuite, après une rotation possible, nous pouvons supposer que$\sqrt{g(\mathbb{D}})$est contenu dans le demi-plan gauche. Maintenant, je peux appliquer les techniques utilisées dans cette réponse$\mathcal{F} \subset \mathcal{H}(D(0,1))$ avec $Re f>0$ et $f(0)=1$est une famille normale pour montrer que la famille traduite (d'où$B$) est une famille normale.
Une chose dont je ne suis pas sûr est de savoir si je peux dire que toutes les valeurs de $\sqrt{g(z)}$sont contenus dans un demi-plan où la ligne séparant les demi-plans contient l'origine. Cela semble vrai, mais je ne suis pas sûr. De plus, je n'utilise pas toute la force du fait$f(\mathbb{D}) \cap [1,2] =\emptyset$ comme je n'ai vraiment besoin que $f(\mathbb{D}) \cap \{1\} = \emptyset$.
Tout commentaire ou suggestion serait grandement apprécié.
Réponses
Votre idée ne fonctionne pas tout à fait et que vous n'avez pas utilisé l'hypothèse qu'un intervalle non dégénéré a été laissé en dehors de la plage devrait servir de signe d'avertissement (mais bien sûr, ce n'est pas en soi une preuve que l'argument ne peut pas fonctionner ).
Pour voir ça $f(\mathbb{D}) \cap \{1\} = \varnothing$ n'implique pas la normalité de la famille considère les fonctions $$f_k(z) = 1 - e^{kz}$$ pour $k \in \mathbb{N}$. Nous avons$f_k(\mathbb{C}) \cap \{1\} = \varnothing$ pour tous $k$, et $f_k(0) = 1 - 1 = 0$. Mais$f_k(z)$ converge localement uniformément vers $\infty$ dans le demi-plan droit, et il converge localement uniformément vers $1$dans le demi-plan gauche. La séquence ne converge localement uniformément en aucun point de l'axe imaginaire.
La première erreur dans votre argument est l'affirmation selon laquelle $g(\mathbb{D})$est simplement connecté. Cela n'a pas besoin de l'être, considérez par exemple$$g(z) = -\exp \biggl(\frac{1 + z}{1-z} - 1\biggr)\,,$$ où $g(\mathbb{D})$ est le complément (dans le plan) d'un petit disque autour $0$. La simple connectivité de$\mathbb{D}$ garantit l'existence d'une racine carrée holomorphe $\sqrt{g(z)}$, mais l'image de cela peut toujours être $\mathbb{C}\setminus \{0\}$.
Mais l'idée de base d'utiliser la racine carrée pour obtenir une famille de fonctions holomorphes avec une image contenue dans un demi-plan fonctionne, il suffit de le faire un peu différemment.
Considérez la transformation de Möbius $$T \colon w \mapsto 2\cdot\frac{w-1}{w-2}\,.$$ Ceci mappe l'intervalle fermé $[1,2]$ à $[-\infty, 0]$, et $T(0) = 1$.
En utilisant cela, nous pouvons considérer la famille $$\tilde{B} = \Biggl\{ z \mapsto \sqrt{2\cdot \frac{f(z) - 1}{f(z) - 2}} : f \in B\Biggr\}$$ où la branche principale de la racine carrée est utilisée.
Maintenant, $\tilde{B}$est juste la famille considérée dans la question liée, donc nous savons que c'est une famille normale. Il reste ensuite à en déduire la normalité de$B$à partir de ce. (Si$(h_k)$ est une séquence localement uniformément convergente, alors $(F\circ h_k)$ est également localement uniformément convergent dans des conditions douces sur $F$.)