Fonction de génération de moment appliquée dans $2t$

Question

J'ai quelques problèmes avec ce problème, adapté de Grimmet & Welsh:

Si $X + Y$ et $X - Y$ sont indépendants, montrez que \begin{align} M\left(2t\right) = M\left(t\right)^{3}M\left(-t\right), \end{align} où $X,Y$ sont des RV indépendants avec moyenne $0$, variance $1$ et $M(t)$ fini.

Comment le prouver? Est-ce que$X$ et $Y$doit avoir une distribution normale? Je vous remercie!

Answer 1

Astuces:

• $M(2t) = E[e^{2tX}]$
• $M(t) = E[e^{tX}] = E[e^{tY}]$
• $M(-t) = E[e^{-tY}]$
• $2X = (X+Y) + (X-Y)$
• Si $U$ et $V$ sont des variables aléatoires indépendantes, alors $E[f(U)g(V)] = E[f(U)] E[g(V)]$.