Fonctionnellement, que dit une matrice symétrique de la transformation linéaire qu'elle représente?
Je comprends la définition d'une matrice symétrique en termes de relation entre ses composants. Mais fonctionnellement, qu'est-ce que cela implique dans la transformation linéaire qu'il représente? Par exemple, les matrices tri-diagonales par blocs ont des relations spéciales entre les entrées mais elles nous indiquent aussi, fonctionnellement, qu'un sous-espace vectoriel non trivial est invariant sous la transformation linéaire par rapport à une base particulière. Incidemment, que représentent fonctionnellement les matrices asymétriques?
Réponses
Dans les commentaires (et dans la discussion liée) sur la question, je formule l'affirmation suivante:
$M$ est symétrique par rapport à au moins un choix de base (éventuellement oblique) si et seulement si $M$ est diagonalisable avec des valeurs propres réelles. $M$ est asymétrique par rapport à au moins un choix de base si et seulement si $M$ est une somme directe de $90^\circ $ des rotations et des transformations nulles.
Tout d'abord, le cas symétrique. Si$M$ est symétrique, alors le théorème spectral déclare que $M$est diagonalisable avec des valeurs propres réelles. Inversement, si$M$ est diagonalisable avec des valeurs propres réelles, alors il y a une base sur laquelle la matrice de $M$est une diagonale avec des entrées diagonales réelles. Puisque cette matrice diagonale est symétrique,$M$ est symétrique par rapport à ce choix de base.
Pour le cas où $M$est asymétrique, il existe deux approches communes. Pour la direction facile: si$M$ est une somme directe de $90^\circ$ des rotations et des transformations nulles, alors il y a une base par rapport à laquelle la matrice de $M$ est la matrice asymétrique en diagonale de bloc $$ \pmatrix{0 & \kappa_1 \\-\kappa_1 & 0 \\ && \ddots \\ &&& 0 & \kappa_p\\ &&&-\kappa_p & 0 \\ &&&&&0 \\ &&&&&&\ddots\\ &&&&&&& 0}. $$Il existe deux approches pour l'inverse. L'une consiste essentiellement à appliquer le théorème spectral pour les matrices hermitiennes , en notant que si$M$ est asymétrique alors la matrice complexe $iM$est hermitien. Alternativement, on peut construire systématiquement une base sur laquelle la matrice de$M$a la forme diagonale de bloc ci-dessus, comme indiqué dans cet article et la preuve qui y est liée.