Fonctionnellement, que dit une matrice symétrique de la transformation linéaire qu'elle représente?

Dec 24 2020

Je comprends la définition d'une matrice symétrique en termes de relation entre ses composants. Mais fonctionnellement, qu'est-ce que cela implique dans la transformation linéaire qu'il représente? Par exemple, les matrices tri-diagonales par blocs ont des relations spéciales entre les entrées mais elles nous indiquent aussi, fonctionnellement, qu'un sous-espace vectoriel non trivial est invariant sous la transformation linéaire par rapport à une base particulière. Incidemment, que représentent fonctionnellement les matrices asymétriques?

Réponses

BenGrossmann Dec 24 2020 at 23:21

Dans les commentaires (et dans la discussion liée) sur la question, je formule l'affirmation suivante:

$M$ est symétrique par rapport à au moins un choix de base (éventuellement oblique) si et seulement si $M$ est diagonalisable avec des valeurs propres réelles. $M$ est asymétrique par rapport à au moins un choix de base si et seulement si $M$ est une somme directe de $90^\circ $ des rotations et des transformations nulles.

Tout d'abord, le cas symétrique. Si$M$ est symétrique, alors le théorème spectral déclare que $M$est diagonalisable avec des valeurs propres réelles. Inversement, si$M$ est diagonalisable avec des valeurs propres réelles, alors il y a une base sur laquelle la matrice de $M$est une diagonale avec des entrées diagonales réelles. Puisque cette matrice diagonale est symétrique,$M$ est symétrique par rapport à ce choix de base.

Pour le cas où $M$est asymétrique, il existe deux approches communes. Pour la direction facile: si$M$ est une somme directe de $90^\circ$ des rotations et des transformations nulles, alors il y a une base par rapport à laquelle la matrice de $M$ est la matrice asymétrique en diagonale de bloc $$ \pmatrix{0 & \kappa_1 \\-\kappa_1 & 0 \\ && \ddots \\ &&& 0 & \kappa_p\\ &&&-\kappa_p & 0 \\ &&&&&0 \\ &&&&&&\ddots\\ &&&&&&& 0}. $$Il existe deux approches pour l'inverse. L'une consiste essentiellement à appliquer le théorème spectral pour les matrices hermitiennes , en notant que si$M$ est asymétrique alors la matrice complexe $iM$est hermitien. Alternativement, on peut construire systématiquement une base sur laquelle la matrice de$M$a la forme diagonale de bloc ci-dessus, comme indiqué dans cet article et la preuve qui y est liée.