Fonctions de masse volumique: comment y a-t-il masse volumique aux points?
Nous discutons souvent de la densité de masse, de la densité de charge et d'autres fonctions similaires: $\rho(x,y)$ pour plaques ultra-minces et $\rho(x,y,z)$pour les objets 3D. Les unités pour la sortie de ces fonctions indiquent la masse ou le volume de charge / unité comme$\frac{kg}{m^3}$ ou $\frac{C}{m^3}$. Je ne peux pas comprendre une densité en un seul point.
Je soupçonne que lorsque nous disons masse par unité de volume "en un point", nous entendons la masse contenue dans le volume immédiatement autour du point. Ici, nous disons «immédiatement autour» dans un sens de calcul pour que le volume se rapproche de zéro. De cette façon, l'ensemble de tous les points ensemble est toujours l'objet complet.
Est-ce correct? Ou ai-je raté la cible?
Réponses
Quand on dit que la masse volumique est $\rho(x,y,z)$, nous voulons dire que la masse dans une région finie $R$ est donné par $$ M(R) = \int_R \rho(x,y,z)\ dx\,dy\,dz. $$ En d'autres termes, spécifier la masse volumique $\rho(x,y,z)$ est une manière concise de décrire la fonction qui prend une région $R$ en entrée et renvoie la masse $M(R)$ dans cette région comme sortie.
La région $R$peut être arbitrairement petit, votre intuition est donc sur la bonne voie. Si nous prenons$R$être un point , puis la masse$M(R)$ est égal à zéro, quelle que soit la densité de masse (tant qu'elle est finie).
La substance (qui constitue la masse) est discrète. Nous avons des molécules, des atomes, des particules plus petites, etc, ...
Il y a des indices que l'espace lui-même est discret également (voir la longueur de Planck), mais nous ne le savons pas avec certitude.
Là encore, parfois (presque toujours, en fait), il est utile d'approximer la substance comme lisse et homogène à des échelles suffisamment petites et d'utiliser tout le calcul aparatus dont nous disposons qui utilise des nombres réels.
C'est ainsi que la densité devient un champ scalaire.
En gros, vous avez raison. La masse contenue en un point (quand on parle de matériaux continus) est nulle.
Cependant, nous pouvons en effet prendre une petite quantité de longueur, de surface ou de volume, mathématiquement décrite comme$dx$, $dA$, ou $dV$ approchant de zéro. Ils sont appelés éléments de longueur, de surface ou de volume. Pour trouver la masse entière, il faut faire la somme de tous les produits de toutes les densités de masse infiniment petites avec les éléments de longueur, de surface ou de volume en tous points de la masse dans le cas 1, 2 ou 3d. Cette sommation devient une intégrale des produits des densités$\rho$ avec les trois éléments différents (en supposant $\rho$ est indépendant de la position dans $x$, $A$, ou $V$):
$$m_{tot}=\int _x\rho dx,$$
pour une messe sur une ligne,
$$m_{tot}=\int _A\rho dA,$$
pour une masse sur une surface, et
$$m_{tot}=\int _V\rho dV,$$
pour une masse dans un volume.
Si la masse volumique dépend de la position dans la masse, remplacez simplement $\rho$ par $\rho (x)$, $\rho (A)$, et $\rho (V)$.
La densité de masse en un point est définie de deux manières:
- la limite de la masse volumique moyenne dans un volume contenant le point lorsque le volume diminue jusqu'à zéro, et
- comme un champ qui est intégré pour donner de la masse.
Comprendre comment et quand ces deux définitions sont la même chose nécessite une théorie des mesures - à quel moment vous apprenez comment elles ne sont pas la même chose.
Exemple de comment ils sont la même chose. Supposons que la masse volumique (champ) soit une constante$1\, \mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3$à chaque point considéré. Laisser$x$être un tel point. Calculons la limite (pour simplifier) des densités moyennes volumiques sphériques pour les sphères centrées à$x$. Laisser$r$ être le rayon dans $\mathrm{cm}$. Le volume,$V$, et la masse, $m$, sont \begin{align*} V(r) &= \frac{4}{3} \pi r^3 \\ m(r) &= \int_{-r}^{r} \int_{-\sqrt{r^2 - z^2}}^{\sqrt{r^2 - z^2}} \int_{-\sqrt{r^2 - z^2 - y^2}}^{\sqrt{r^2 - z^2 - y^2}} 1\, \mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3 \,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \,\mathrm{d}z \\ &= \frac{4}{3} \pi r^3 \,\mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3 \text{.} \end{align*}
(Les unités explicites peuvent faire ressembler cette masse à une densité. Rappelez-vous que "$r$" dans "$r^3$"a des unités de distance qui annulent les unités de distance dans le dénominateur des unités explicites.)
Puis la masse volumique à $x$ est $\lim_{r \rightarrow 0} \frac{\frac{4}{3} \pi r^3 \,\mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3}{\frac{4}{3} \pi r^3} = 1 \,\mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3$. Notez que nous devons prendre la limite comme$r \rightarrow 0$. On ne peut pas évaluer le rapport masse / volume à$r = 0$puisque cela implique une division par zéro. Maintenant, un graphique de la fonction dont nous prenons une limite. A partir de l'annulation algébrique (permise sous la limite, mais pas en dehors de cette limite), on s'attend à voir une fonction constante.
Le point $(0,1)$est omis, car la division par zéro n'est pas définie. Pour nous faufiler sur la valeur, nous utilisons une limite. Notez que si le champ de densité variait (petites fluctuations autour d'une densité moyenne et / ou tendance à des densités plus ou moins élevées$x$), nous verrions ces variations dans la courbe. Ce modèle très simple n'a pas de telles fonctionnalités.
J'ajouterai un autre point de vue, puisque la question ne semble être que quelque chose de très avancé ou qui ne se pose que dans ce domaine de la physique: ce que vous demandez s'apparente précisément au paradoxe de la flèche de Zénon:https://en.wikipedia.org/wiki/Zeno's_paradoxes#Arrow_paradox
Fondamentalement, je suis sûr que vous connaissez les dérivés, mais ils ne sont pas intuitifs lorsqu'ils sont appliqués à des quantités arbitraires. Certes, on peut parler d'une vitesse moyenne sur une certaine durée ∆ t , et raison que lorsqu'on restreint la durée à un seul instant de temps, on obtient la vitesse instantanée à un instant donné - une quantité utile dont on sait qu'elle est bien définie.
"Mais pour avoir une vitesse, il faut voyager, et on ne peut pas voyager si le temps ne passe pas!" Ouais, c'est la même chose avec le fait qu'il n'y a pas de densité "instantanée" intuitive (dm / dV) si l'on regarde un point de masse, mais quand même on travaille avec des dérivés et ils fonctionnent. :)