Fondements de la vérité, de la prouvabilité et des axiomes au moyen de l'hypothèse du continuum
Soit S la structure / langage de ZFC (y compris PL 1). Soit CH se référer à l'hypothèse du continuum bien connue. Mes affirmations sont les suivantes et pourriez-vous simplement dire si c'est vrai ou faux et pourquoi?
En S ni CH n'est vrai ni faux car en S seules les tautologies et contradictions sont déjà vraies / fausses et CH ne l'est pas.
Disons que je suppose qu'un seul axiome dans S dit: il existe un ensemble vide. Maintenant, dans ce scénario, CH n'est encore ni vrai ni faux parce que nous ne pouvons toujours pas parler de cardinalités d'ensembles (et donc nous ne pouvons pas parler de CH).
Disons que je suppose ZFC en S. Nous pouvons maintenant parler de cardinalités d'ensembles. Cela signifie qu'ici CH est un wff et qu'il est donc vrai ou faux. Mais nous ne pouvons pas prouver de quoi il s'agit (Gödel, Cohen). Mais cela signifie: CH est vrai x ou faux dans ZFC en ce moment même, nous ne savons tout simplement pas et nous ne le saurons jamais!
Si nous supposons brutalement CH pour être vrai dans ZFC (ZFC + CH), alors il n'y a pas d'incohérence (preuve par Gödel), mais si nous prenons ZFC + ~ CH, nous pouvons prouver qu'il n'y a pas non plus d'incohérence (Cohen), donc ZFC est - vaguement parlé - trop général pour saisir correctement la vérité / la fausseté de CH, tout comme le filet d'un pêcheur est parfois trop gros pour attraper certains poissons.
Réponses
Il y a plusieurs problèmes ici, qui peuvent ne pas sembler importants au début, mais avec le temps, cela nuira à l'image (déjà assez nuancée).
Tout d'abord, vous confondez des structures , des théories et des langages . Par ordre croissant de complexité:
Une langue (également appelée signature ou vocabulaire ) est un ensemble de symboles non logiques, tels que$\{\in\}$ ou $\{+,\times,0,1,<\}$.
Une théorie est un ensemble de phrases du premier ordre, et pour une langue$\Sigma$ une $\Sigma$-la théorie est une théorie constituée de phrases dans la langue $\Sigma$ - par exemple $\mathsf{ZFC}$ est un $\{\in\}$-Théorie et premier ordre $\mathsf{PA}$ est un $\{+,\times,0,1,<\}$-théorie.
Une structure dans une langue donnée est un ensemble avec une interprétation des différents symboles de cette langue enhttps://en.wikipedia.org/wiki/Structure_(mathematical_logic)#Interpretation_function.
Le fait qu'une chaîne particulière de symboles soit ou non un wff dépend uniquement du langage impliqué, pas des axiomes que nous considérons ni de la structure (le cas échéant) sur laquelle nous nous concentrons spécifiquement.$\mathsf{CH}$ est un wff dans la langue $\{\in\}$. Qu'est-ce que le vide$\{\in\}$-theory (votre "$S$") ne peut pas faire, c'est prouver des choses de base sur $\mathsf{CH}$et des phrases apparentées. Donc$S$ peut parler de $\mathsf{CH}$, ça n'a tout simplement pas grand chose à dire. Ce problème est implicite dans$(1)$ et $(2)$, et explicite dans $(3)$.
Passons maintenant au point le plus subtil: la vérité et la fausseté . La relation de satisfaction$\models$ relie les structures et les phrases / théories, avec "$\mathcal{A}\models\varphi$"(resp."$\mathcal{A}\models\Gamma$") étant lu comme"$\varphi$ est vrai dans $\mathcal{A}$"(resp." Chaque phrase de $\Gamma$ est vrai dans $\mathcal{A}$"). Mais nous n'utilisons le terme" vrai " que dans ce contexte; quand on parle de théories, le terme pertinent est prouvable .
La principale raison de réserver des termes comme «vrai» et «faux» pour les structures par opposition aux théories est que les propriétés standard de la vérité telles que la bivalence ne tiennent que de la vérité dans une structure, et non de la prouvabilité dans une théorie. En séparant les termes, nous facilitons la précision et évitons les erreurs subtiles. C'est un problème dans votre point$(3)$, où la vérité et la prouvabilité se mélangent. En particulier, la déclaration
CH est vrai x ou faux dans ZFC en ce moment même, nous ne savons tout simplement pas et nous ne le saurons jamais
n'analyse pas.
OK, malheureusement , vous y trouverez les gens disent que les choses sont vrai / faux dans$\mathsf{ZFC}$. Le lien est qu'une phrase est prouvable dans une théorie$T$ https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_completeness_theorem c'est vrai dans tous les modèles de $T$, donc ce n'est pas totalement injustifié. Mais c'est un abus de terminologie, et doit être évité jusqu'à ce que les principes fondamentaux du sujet soient maîtrisés.
Après être passé de la vérité à la prouvabilité, pointez $(4)$alors est correct avec une légère hypothèse supplémentaire: supposer$\mathsf{ZFC}$est cohérent en premier lieu , à la fois$\mathsf{ZFC+CH}$ et $\mathsf{ZFC+\neg CH}$ sont consistant.