Groupe d'automorphisme d'un graphe de Cayley
Laisser $G$être un groupe. Laisser$\Gamma = \Gamma(G,X)$ être le graphique de Cayley de $G$ défini par rapport à un groupe électrogène $X$. Je veux montrer ça$G\cong \text{Aut}(\Gamma)$. Notez que par$\text{Aut}(\Gamma)$Je ne fais pas référence au groupe d'automorphisme du graphe non orienté sous-jacent, mais plutôt au graphe détaillé où chaque arête est dirigée et étiquetée avec le générateur approprié.
Par exemple, dans le graphe orienté et étiqueté suivant, il n'y a qu'un seul automorphisme non trivial: celui où j'envoie $1$ à $4$. En effet, le reste de l'automorphisme est uniquement déterminé en décrivant l'image d'un seul sommet sous l'automorphisme.

J'ai essayé de suivre ce post, mais j'étais un peu confus. Mes questions sont les suivantes:
- Comment sont les éléments de $\text{Aut}(\Gamma)$défini? Comme elle est différente de la définition habituelle d'un isomorphisme de graphe, je ne savais pas trop comment faire cette définition.
- Pourquoi est-il facile de voir ça $T_h\in\text{Aut}(\Gamma)$? (Je suppose que la réponse à cette question dépend de la façon dont$\text{Aut}(\Gamma)$ est défini.)
Réponses
Les sommets du graphe de Cayley $\Gamma$ sont les éléments de $G$, il y a un avantage $(g,gs)$ pour chaque $s\in X$ (où $X$ est le groupe électrogène) et $g\in G$. Le bord$(g,gs)$ est étiqueté par le générateur $s$. Un automorphisme de$\Gamma$est une permutation de l'ensemble de sommets qui induit une permutation de l'ensemble d'arêtes qui préserve également les étiquettes des arêtes. (Il envoie n'importe quel bord à un bord avec la même étiquette.)
Appeler une telle fonction $\phi:G\to G$. Le fait qu'il préserve les bords signifie$(\phi(g),\phi(gs))$ doit être un avantage pour tous $g\in G,s\in S$, et il doit avoir la même étiquette $s$, ce qui signifie la deuxième coordonnée $\phi(gs)$ doit être le premier, $\phi(g)$, fois $s$. C'est,$\phi(gs)=\phi(g)s$ pour tous les éléments $g\in G,s\in S$. Vous pouvez faire la même idée pour les bords$(gs^{-1},g)$ étiqueté par $s$ afin de montrer $\phi(gs^{-1})=\phi(g)s^{-1}$ aussi.
Puisque toutes $g\in G$ sont des produits d'éléments de $S$ et leurs inverses, par induction $\phi(g)=\phi(e)g$. Autrement dit, tout automorphisme étiqueté$\phi$ de $\Gamma$ est simplement une multiplication à gauche $T_h(g):=hg$ par un élément de groupe $h=\phi(e)$, et inversement (qui découle simplement de la propriété associative).