Histoire des polynômes irréductibles et motivation pour eux
J'ai réfléchi à l'histoire des polynômes irréductibles et pourquoi ils ont été introduits. J'ai trouvé Quelle est l'origine des polynômes et leur notation? , mais il s'agit de polynômes en général.
Quelqu'un pourrait-il décrire la motivation historique de l'introduction et de l'étude des polynômes irréductibles? J'aimerais avoir des références pour cela.
Réponses
Je vais sauter la préhistoire de la résolution d'équations polynomiales et de la factorisation des polynômes. Permettez-moi de mentionner que l'analogie entre la division longue des nombres et les polynômes remonte au mathématicien islamique médiéval al-Samawal, voir Qui a inventé la division courte et longue? , et l'algorithme euclidien pour les polynômes a été optimisé par Hudde, un jeune contemporain de Descartes, voir Suzuki, The Lost Calculus .
L'histoire proprement dite des irréductibles commence par les polynômes cyclotomiques des Disquisitiones Arithmeticae de Gauss (1801). Sa motivation était liée à l'inscription de polygones réguliers dans un cercle avec une règle et une boussole, et une remarque cryptique indiquait une généralisation au lemniscate. La première théorie a été développée dans le contexte des «congruences supérieures», des équations polynomiales modulo premiers et de leurs puissances, voir Why Eisenstein Proved the Eisenstein Criterion et Dickson's History of the Theory of Number, ch. VIII . L'étude des anneaux de nombres généraux par Kummer et Dedekind provenait de la même source.
Gauss a prouvé que les polynômes cyclotomiques avec des indices premiers sont irréductibles (il n'a pas utilisé une telle terminologie). Au cours de celle-ci, il prouva le premier résultat général sur l'irréductibilité, le lemme de Gauss . La section 8 non publiée de Disquisitiones Arithmeticae , intitulée Disquisitiones generales de congruentiis , était encore plus pertinente , où Gauss étudiait les "congruences polynomiales" modulo$p$, c'est-à-dire des polynômes en $\mathbb{F}_p[x]$en termes modernes, voir Frei, The Unpublished Section Eight . Il a compté le nombre de polynômes moniques irréductibles dans$\mathbb{F}_p[x]$, et a prouvé un cas du lemme de Hensel au cours de celui-ci. Mais tout cela n'est devenu disponible qu'après que Dedekind a publié la section 8 en 1863 (version complète en 1876), et a été redécouvert par d'autres entre-temps, en particulier Schönemann et Dedekind lui-même.
Mais même les parties publiées ont été une source d'inspiration suffisante pour Abel et Galois. Le théorème d'irréductibilité d'Abel , moins formulé, apparaît dans son Mémoire sur une classe particulière d'équations résolubles algébriquement (1829). Abel y fut conduit par son extension antérieure à la lemniscate du résultat de Gauss sur la subdivision d'un cercle en parties égales, selon la remarque de Gauss. Dans la note de Galois Sur la théorie des nombres (1830, il apparaît avec la traduction anglaise dans Les écrits mathématiques d'Évariste Galois ), nous voyons le terme « irréductible », bien qu'il soit appliqué aux congruences plutôt qu'aux polynômes, et une construction connexe de champs finis .
Mais Schönemann dans un article en deux parties Grundzuge einer allgemeinen Theorie der hohern Congruenzen (1845) et Von denjenigen Moduln, welche Potenzen von Primzahlen sind (1846) a redécouvert indépendamment les résultats de Gauss et de Galois et est allé beaucoup plus loin. En particulier, il applique «irréductible» aux polynômes, et énonce un problème général: « Pour rechercher, si la puissance d'un modulo polynomial irréductible$p$ est ou n'est pas modulo irréductible $p^m$", qu'il résout en utilisant une version de ce que l'on appelle maintenant le " critère d'Eisenstein " d'irréductibilité (en grande partie en raison de la négligence de van der Waerden). Eisenstein a redécouvert le critère en reprenant le théorème d'Abel sur la subdivision du lemniscate, et a partagé l'idée dans une lettre à Gauss en 1847, mais la version publiée n'apparut que dans Uber die Irreductibilitat und einige andere Eigenschaften der Gleichung (1850). Un certain nombre d'auteurs ont travaillé sur des congruences plus élevées à partir de là, Mathieau, Serret, Dedekind, Kronecker, Jordan, Weber etc.
Entre les mains de Dedekind, après son Abriß einer Theorie der hoheren Kongruenzen in bezug auf einen reellen Primzahl-Modulus (1857), l'histoire a pris une tournure plus abstraite qui a conduit à la théorie moderne des anneaux. Plus tard, Dedekind a synthétisé le travail de Gauss, Galois, Schönemann et Kummer en introduisant des anneaux et des idéaux, et en développant une terminologie unifiée des nombres premiers et irréductibles, voir Quels changements en mathématiques ont entraîné le changement de la définition des nombres premiers et l'exclusion de 1? Dans une veine plus concrète, Kronecker a donné un algorithme général pour factoriser complètement un polynôme entier rationnel en un produit d'irréductibles en 1882, voir Dorwart, Irreductibility of Polynomials. Le critère de Schönemann-Eisenstein a été étendu par Konigsberger (1895), Netto (1896) Bauer et Perron (1905). Dumas a développé la méthode désormais populaire des polygones de Newton pour étudier l'irréductibilité dans Sur quelques cas d'irreductibilite des polynomes a coefficients rationnels (1906), voir les conditions d'irréductibilité de type Schönemann-Eisenstein-Dumas par Bonciocat .