Idéal de la frontière de$G/U \subset \overline{G/U}$

Aug 16 2020

Laisser$G$être un groupe algébrique semi simple,$B \subset G$est un sous-groupe de Borel et$U \subset B$est le radical unipotent de$B$. On peut considérer la variété$G/U$. Notons aussi$\overline{G/U}:=\operatorname{Spec}(\mathbb{C}[G/U])$. On sait que le morphisme naturel$G/U \rightarrow \overline{G/U}$est un encastrement ouvert. Laisser$\partial{G/U}$être la limite de$G/U$à l'intérieur$\overline{G/U}$. Notez maintenant que$\mathbb{C}[G/U]=\bigoplus_{\mu} V(\mu)$, où la somme traverse les caractères dominants$\mu$de$G$(on fixe un tore maximal$T \subset B$, ici$V(\mu)$est la représentation irréductible de$G$avec le poids le plus élevé$\mu$).

Revendication : l'idéal de$\partial{G/U} \subset \overline{G/U}$est généré par$V(\mu)$avec$\mu$être régulier (strictement dominant). Comment prouver cette allégation ? Peut-être y a-t-il des références ?

Réponses

7 dhy Aug 16 2020 at 02:39

Voici une façon de le voir, via la classification$G$- des idéaux radicaux invariants. (Cela a l'avantage de décrire implicitement la frontière.)

Lemme: $G$-idéaux invariants$I$de$\mathbb{C}[G/U]$sont en bijection avec des ensembles de poids$S$de sorte que pour$\lambda\in S$et$\mu > \lambda$,$\mu\in S$. Un tel idéal est radical ssi pour tous$\lambda\notin S,$Nous avons$n\lambda\notin S$pour tous les entiers positifs$n$.

Pour voir cela, notez que$G$-l'invariance vous dit que$I$doit diviser en une somme$$\displaystyle\bigoplus_{\lambda\in S}V(\lambda)$$pour un ensemble$S$. Maintenant si$\lambda\in S,$la carte des multiplications$V(\mu-\lambda)\otimes V(\lambda)\rightarrow V(\mu)$est surjectif et donc$\mu > \lambda$doit également être dans$S$.

La déclaration sur les idéaux radicaux suit de la même manière.

À partir de cette déclaration, vous pouvez voir que le minimum non nul$G$-l'idéal radical invariant (qui découpe nécessairement le bord) correspond à prendre$S$l'ensemble de tous les poids réguliers.