Image d'un ensemble compact sous fonction continue par morceaux

Question

Laisser $a,b>0\in\mathbb{R}$. Laisser$U$ être un domaine dans $\mathbb{C}^n$. Laisser$f:[a,b]\longrightarrow U$être une carte continue par morceaux. Alors c'est$f[a,b]$compact? S'il n'est pas compact, sera-t-il limité?

D'accord. C'est dans le contexte suivant. On me donne un chemin lisse par morceaux$\gamma:[a,b]\longrightarrow U$. Où$\gamma(a)=z$ et $\gamma(b)=w$, pour donné $z,w\in U$. On nous donne également une fonction$\alpha:U\times\mathbb{C}^n\longrightarrow \mathbb{R}$, qui est semi-continue supérieure. Maintenant on dit que$t\in[a,b]\longrightarrow \alpha(\gamma(t),\gamma’(t))$est limité et mesurable. Je voulais savoir pourquoi la fonction est limitée. je le sais$\gamma[a,b]$est compact. Et$\gamma$être semi-continu supérieur atteindra son maximum sur un ensemble compact. Mais je ne suis pas sûr de$\gamma’$.

Answer 1

Compact, pas nécessairement: activé $[0,1]$ laisser $f(x) = x, 0\le x<1,$ $f(1)=2.$ ensuite $f([0,1]) = [0,1)\cup\{2\}.$

Limité, oui: d'abord, un lemme: si $f$ est continu sur $(a,b)$ et $f$ a des limites finies aux extrémités, alors $f(a,b)$ est délimité.

Preuve: Supposons $\lim_{x\to a^+} f(x)=L,$ $\lim_{x\to b^-} f(x)=M.$ Laisser $\epsilon=1.$ Alors il existe $\delta_a>0, \delta_a<(b-a)/3,$ tel que $|f(x)-L|<1$ pour $x\in (a,a+\delta_a).$ Ainsi pour un tel $x,$

$$|f(x)| = |f(x)-L+L|\le |f(x)-L|+|L| <1+|L|.$$

De même, il existe $\delta_b>0,\delta_b<(b-a)/3,$ tel que $|f(x)|<1+|M|$ pour $x\in (b-\delta_b,b).$ Il s'ensuit que $f$ est borné sur le plateau $(a,a+\delta_a)\cup (b-\delta_b,b).$

Depuis $f$ est continue sur l'ensemble compact $[a+\delta_a,b-\delta_b],$ $f([a+\delta_a,b-\delta_b])$est compact, donc borné. Il s'ensuit que$f(a,b)$ est délimité.

Supposons maintenant $f$ est continue par morceaux sur $[a,b].$ Alors il existe des points $a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$ tel que $f$ est continue sur chaque $I_k=(x_{k-1},x_k)$ et a des limites finies aux extrémités de $I_k.$ Par le lemme, chacun $f(I_k)$est délimité. L'ensemble$f(\{x_0,\dots x_n\})$est également délimitée. Par conséquent

$$f([a,b])=f(I_1)\cup \cdots \cup f(I_n)\cup f(\{x_0,\dots x_n\})$$

est délimité.