Inverse à droite si et seulement si sur

Aug 16 2020

J'essaye de prouver le résultat suivant.

Prouve-le $f: X \to Y$est sur si et seulement si elle possède un inverse droit. Ensuite, prouvez que cet inverse n'est pas nécessairement unique (c'est-à-dire quand$f$ n'est pas injective).

Voici ce que j'ai trouvé, mais en particulier, ma «preuve» du manque d'unicité n'est pas très rigoureuse.

Preuve. Supposer$f: X \to Y$est surjectif. Laisser$y \in Y$, donc il existe $x \in X$ tel que $f(x) = y$. Bien que ce$x$ peut ne pas être unique, nous définissons le mappage $g: Y \to X$ par la règle $g(y) = x$, en utilisant l'axiome du choix. Pour un tel$y$ avec la propriété qui $g(y) = x$, nous avons: $$ (f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = y, $$ alors $f \circ g = i_Y$, et $g$est un inverse droit. Inversement, supposons$f$ possède un inverse droit, $g: Y \to X$ avec la propriété qui $f \circ g = i_Y$. Laisser$y \in Y$. ensuite$g(y) = x$ pour certains $x \in X$. Ensuite, nous observons que$$ (f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = i_Y (y) = y $$ alors $f$est surjectif. Cet inverse droit n'est pas unique car nous devions invoquer l'axiome du choix pour définir$g(y) = x$ pour certains $x$. Dans le cas où$f$ n'est pas injective, étant donné $y \in Y $, il y en a potentiellement une infinité $x$ tel que $f(x) = y$, et nous pourrions définir $g(y)$ pour égaler n'importe lequel de ces x, dont chacun donnerait un inverse droit également valide.

À quoi ressemble cette preuve? Est-ce une utilisation appropriée du choix? Existe-t-il un moyen de rendre la preuve du manque d'unicité plus rigoureuse?

Merci d'avance.

Réponses

2 AliasK Aug 16 2020 at 06:33

Votre preuve si et seulement si me semble plutôt bonne. Cependant, votre preuve de non-unicité est un peu fragile.

Pour prouver la non-unicité, il suffit (et presque toujours plus facile) de le montrer par un exemple. Vous pouvez préparer n'importe quel exemple, mais voici le premier qui m'est venu à l'esprit.

Supposer que $X=\mathbb{R}^2$ et $Y=\mathbb{R}$ avec $f:X\to Y$ étant $f(x,y)=x$. Clairement, cette fonction est activée. Maintenant, définissez la carte suivante$S_1:Y\to X$ par $S_1(x)=(x,0)$. Cela ne devrait pas en prendre beaucoup pour vous convaincre que$f(S_1(x))=i_Y$.

En plus la carte $S_2:Y\to X$ Défini par $S_2(x)=(x,x)$ donnera aussi $S_2(f(x))=i_Y$. Mais$S_1\neq S_2$ nous avons donc montré qu'il y a deux fonctions qui produisent le résultat souhaité qui ne sont pas les mêmes (et donc l'inverse n'a pas besoin d'être unique).