Je ne comprends pas comment fonctionne ce PDF conjoint
Cette question provient de MIT 6.041 OCW.
Je ne comprends pas la partie b de cette question, en particulier comment$f_X(x)$et$f_{Y|X}(y|0.5)$sont calculés.
Autant que je sache, vous obtenez le PDF marginal en intégrant le PDF joint, c'est-à-dire$f_X(x)=\int f_{X,Y}(x,y) dy$.
Cela conduit déjà à beaucoup de confusions :
Il y a, selon le schéma, deux$f_{X,Y}(x,y)$:$1/2$et$3/2$. Donc, en intégrant ces deux, nous obtenons$\frac{1}{2}y$et$\frac{3}{2}y$respectivement - donc lequel est censé être$f_X(x)$? Et est$f_X(x)$sur le plan de$y$même légitime?
La solution indique$f_X(x)$sur le plan de$x$, mais si on intègre$f_{X,Y}(x,y)$sur le plan de$y$, comment pourrions-nous obtenir$x$?
Solution pour$f_{Y|X}(y|0.5)$est encore plus étrange; un point individuel n'obtient-il pas zéro PDF car un point n'a pas de zone ? Alors, comment est-il possible de parler de$X=0.5$en premier lieu, sans parler de laisser un événement de probabilité nulle comme dénominateur ?


Réponses
Les intégrales en question sont des intégrales définies et non des primitives. Par exemple,
$$ f_X(x) = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy $$
Étant donné que
$$ f_{X, Y}(x, y) = \begin{cases} \frac12 & 0 < x < 1, 0 < y < x \\ \frac32 & 1 < x < 2, 0 < y < 2-x \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$
on obtient, pour$0 < x < 1$,
\begin{align} f_X(x) & = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy \\ & = \int_{y=0}^x \frac{dy}{2} \\ & = \left. \frac{y}{2} \right]_{y=0}^x \\ & = \frac{x}{2} \end{align}
et pour$1 < x < 2$,
\begin{align} f_X(x) & = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy \\ & = \int_{y=0}^{2-x} \frac{3 \, dy}{2} \\ & = \left. \frac{3y}{2} \right]_{y=0}^{2-x} \\ & = 3-\frac{3x}{2} \end{align}
Pour les autres, nous avons
$$ f_{Y \mid X}(y \mid 0.5) = \frac{f_{X, Y}(0.5, y)} {\int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(0.5, y) \, dy} $$
et
$$ f_{X \mid Y}(x \mid 0.5) = \frac{f_{X, Y}(x, 0.5)} {\int_{x=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, 0.5) \, dx} $$
Notez que l'évaluation du dernier nécessite l'intégration d'une fonction constante par morceaux.