L'ensemble des valeurs propres d'un opérateur borné sur un espace de Hilbert séparable est-il dénombrable?
Le spectre d'un opérateur est souvent indénombrable, mais veuillez noter que la question se réfère à des valeurs propres .
Ceci est bien connu pour les opérateurs auto-adjoints, mais je ne vois pas comment le résultat va au-delà de ce cas.
La même question est également logique pour les espaces séparables de Banach.
Réponses
2 MikeF
La même question est posée et répondue sur mathoverflow ici . L'opérateur de marche arrière$T : \ell^2(\mathbb{N}) \to \ell^2(\mathbb{N})$ Défini par $$T(a_0,a_1,a_2,\ldots) = (a_1,a_2,a_3,\ldots)$$Fait le travail. Pour chaque$\lambda \in \mathbb{C}$ avec $|\lambda|<1$, la séquence géométrique $v = (1,\lambda,\lambda^2,\ldots)$ est intégrable au carré et satisfait $T v = \lambda v$.