L'importance d'approcher $\mathbb{E}^x(f(B_t)) \approx f(x)+ \frac{t}{2} f''(x) $
Afin de montrer que le générateur infinitésimal du mouvement brownien est $\frac{1}{2}\Delta$, dans cette réponse , il écrit d'abord l'équation$$ \frac{d}{dt} P_t f(x) = A P_tf(x), \tag{1} $$ puis il dérive l'approximation suivante: $$ \mathbb{E}^x(f(B_t)) \approx f(x)+ \frac{t}{2} f''(x) $$ Ensuite, on fait valoir que "De (1) nous voyons que $u(t,x) := \mathbb{E}^x(f(B_t))$ est la solution (unique) de l'équation de la chaleur "
Comme discuté ici , nous ne pouvons pas simplement remplacer l'approximation dans l'équation de la chaleur. Si c'est le cas,
- Pourquoi l'auteur de cet article a-t-il fait cette approximation? comment a-t-il utilisé cette approximation pour la preuve? s'il ne l'utilisait pas,
- Quelqu'un peut-il expliquer davantage son argument selon lequel: "De (1) nous voyons que $u(t,x) := \mathbb{E}^x(f(B_t))$ est la solution (unique) de l'équation de la chaleur ... "?
Réponses
Votre confusion pourrait survenir parce que vous pensez que l'approximation sert en quelque sorte à construire une solution à l'équation de la chaleur. Ce qui se passe, c'est que vous commencez par une solution à une équation différentielle partielle (PDE), et l'approximation sert à identifier cette PDE comme l'équation de la chaleur. Aucune preuve n'a été fournie dans aucun des messages que vous avez liés. Ce ne sont que des arguments formels pour aider à développer l'intuition.
Commencez par votre deuxième question. L'équation (1) est$$\frac{d}{dt}P_t f(x) = A P_t f(x).$$Par définition ,$P_t f(x) = \mathbb{E}^x [f(B_t)].$ Réglage $u(t,x) = P_t f(x)$ dans l'équation (1), nous avons $$\frac{d}{dt} u(t,x) = A u(t, x). \tag{$\ spadesuit$}$$ Ici, $A$ est un opérateur différentiel, donc $u(t,x)$résout une équation différentielle avec certaines conditions initiales. De quelle équation différentielle s'agit-il?
Pour deviner de quelle équation différentielle il s'agit, l'approximation$u(t,x) \approx f(x) + t f''(x)/2$est utilisé. Placer ceci directement dans le côté gauche de ($\spadesuit$), tu trouves $$\frac{d}{dt} u(t,x) = \frac{d}{dt}\left(f(x) + t\frac{f''(x)}{2}\right)=\frac{f''(x)}{2}=Au(t,x).$$ Sur la base de cette relation, pouvez-vous deviner quoi $A$ est?