L'intégration est-elle bien définie sur les polynômes du cercle ?

Question

Je veux voir s'il y a une carte bien définie$$\int_0^\theta\text{d}\theta:\frac{\mathbb{R}[x,y]}{\langle x^2+y^2-1\rangle}\rightarrow\frac{\mathbb{R}[x,y]}{\langle x^2+y^2-1\rangle}.$$Je commence mon étude de la géométrie algébrique et j'ai trouvé cela déroutant. Ceci est lié à un autre article Coordonnées polaires pour les polynômes sur le cercle .

J'ai essayé d'entrer dans les coordonnées polaires mais il n'y a pas d'expression simple pour une intégrale de la forme$$\int_0^\theta \text{d}\theta\,\cos(\theta)^n\sin(\theta)^m.$$Par contre, en coordonnées complexes on a$$\int_\mathcal{C}\text{d}z\,z^n\bar{z}^m=\begin{cases}i r^{n+m}\theta, & 1+n-m=0\\ \frac{z^{n+1/2}\bar{z}^{m-1/2}-(z\bar{z})^{(n+m)/2}}{1+n+m},&\text{otherwise.}\end{cases}$$Ici$\mathcal{C}$est l'arc dans le cercle de rayon$r$entre$0$et$\theta$. Ainsi, dans$\mathbb{C}[z,\bar{z}]$cela ne semble même pas être bien défini. Par exemple, dans le cas$1+n-m=0$il ne donne même pas de fonction.

Answer 1

Il induit au moins un opérateur bien défini sur certains polynômes. La clé est que j'ai mal fait le calcul en coordonnées polaires. Le calcul pertinent est$$\int_0^\theta\text{d}\theta\,z^n\bar{z}^m=\frac{z^n\bar{z}^m}{i(n-m)}\in\mathbb{C}[z,\bar{z}],$$aussi longtemps que$n\neq m$. Étant donné que prendre la partie réelle d'un nombre complexe est linéaire et que chaque polynôme réel peut être obtenu en prenant la partie réelle d'un nombre complexe, cela prouve ce dont nous avions besoin. Le problème de$n\neq m$dans le calcul ci-dessus est résolu car sur le cercle les polynômes$z^n\bar{z}^n$sont dans la même classe d'équivalence que$1$.