La preuve du calcul tensoriel du point de Torricelli?

Aug 17 2020

Dans cette conférence vidéo sur le calcul tensoriel, vers 2:36, il prend le gradient d'une "fonction de longueur" géométrique qui augmente vers l'extérieur dans le sens de la longueur. Mais je ne comprends pas la direction dans laquelle le gradient devrait être? différents points ont-ils des dégradés différents? Et quelle est exactement la technicité pour définir une fonction à partir de trois points?

J'ai pensé à construire en essayant de décrire ce qu'il a fait en utilisant les coordonnées comme suit:

Prenez trois points $ A_1,A_2,A_3$

Maintenant, à partir de ces trois points fixes, nous prenons un point dans le triangle $ (x,y)$

Laisser $d(A_i(x,y))$ être la distance de notre point au sommet A Notre objectif est de minimiser:

$$ D(x,y) = \sum_{k=1}^{3} d(A_i (x,y) )$$

Soi-disant, nous prenons le gradient des deux côtés et mettons la gauche à zéro, nous obtenons,

$$ 0 = \nabla \sum_{k=1}^{3} d(A_i (x,y)) $$

ou,

$$ 0 = \sum_{k=1}^{3} \nabla d(A_i (x,y) ) $$

Et le point où les trois vecteurs unitaires de $ d(A_i (x,y))$aller à zéro est notre point de Torricelli, mais je ne comprends pas tout à fait comment il définit les fonctions en fonction des distances du sommet. Quels sont exactement les détails techniques de cela?

De plus, je ne trouve pas de preuve similaire en ligne, n'est-ce pas une preuve bien documentée?

Edit: Après réflexion, pourrais-je utiliser une méthode similaire pour trouver le «point Torricelli» de formes plus compliquées? semble que cela devrait être facilement réalisable selon les mêmes principes.

Par exemple, trouver le «point toricelli» du pentagone se réduit au problème de trouver un moyen d'arranger les 5 vecteurs unitaires de telle sorte que leur somme soit nulle comme indiqué ci-dessous. De plus, comment trouverait-on généralement un arrangement qui ajoute à zéro?

Réponses

1 Max Aug 29 2020 at 05:42

Il y a de nombreuses questions. Essayons de faire une liste.

  1. "est-ce que différents points ont des gradients différents?"

Oui, ils le font. Le gradient d'une fonction est un champ vectoriel, ce qui signifie que le vecteur varie d'un point à un autre.

  1. "Mais je ne comprends pas la direction dans laquelle le gradient devrait être?"

"Je ne comprends pas tout à fait comment il définit les fonctions en fonction des distances du sommet. Quels sont exactement les aspects techniques de cela?"

Géométriquement, nous avons 2 propriétés du dégradé:

a) Le gradient pointe dans la direction de l'augmentation la plus rapide de la fonction.

Pour la fonction "distance à O", la direction d'augmentation la plus rapide à un certain P (selon la réponse à la partie 1, cela variera lorsque P varie) est la direction de déplacement le long du rayon OP, "hors de O". Encore une fois, cette direction varie lorsque nous faisons varier P.

b) La taille du gradient est le changement de la fonction par pas dans la direction du gradient (dans la limite des très petits pas).

Pour «distance de O», ce que cela veut dire, c'est que nous devons calculer combien la «distance de O» change lorsque nous faisons un pas de taille $\Delta$le long du rayon OP. La réponse est$\Delta$. Le rapport d'augmentation de la fonction par la taille du pas est 1. Le vecteur gradient est donc de longueur 1 (pour tout P).

Sinon, vous pouvez écrire $f(P)=|OP|$et prenez le gradient. Supposons que O est un point avec des coordonnées (fixes)$(x_0, y_0)$ et $P$ a des coordonnées variables $(x, y)$.

Pour calculer le gradient de $f(P)=f(x,y)=|OP|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}$ nous utilisons le fait que la distance carrée est une fonction plus agréable que la distance (étant $f^2(P)=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2)$, donc polynôme quadratique). Donc, nous utilisons la règle de la chaîne,$\nabla_P f^2(P)=2 f(P) \nabla_P f^2(P)$; et$\nabla_P f^2(P)=(2(x-x_0), 2(y-y_0))=2 OP$. Ensemble cela donne$\nabla_P f(P)=\frac{OP}{|OP|}$, c'est-à-dire le vecteur unitaire pointant le long du rayon OP, identique à celui obtenu par le raisonnement géométrique ci-dessus.

  1. "Pourrais-je utiliser une méthode similaire pour trouver le 'point Torricelli' de formes plus compliquées?"

Eh bien, la partie où le «point de Torricelli» est celle où les vecteurs unitaires du point aux sommets se résument à zéro est en effet la même, et pour la même raison. Le problème est que pour 3 vecteurs, la seule façon dont cela peut être vrai est que tous ont des angles de 120 entre n'importe quelle paire de vecteurs - de sorte que le point de Torricelli doit avoir cette propriété «120 degrés». Pour tout nombre plus élevé de vecteurs, il existe une infinité de configurations possibles de vecteurs unitaires qui totalisent zéro. La condition "la somme des vecteurs à zéro" est donc beaucoup moins restrictive. Il doit être combiné d'une manière non triviale avec la condition que ces vecteurs pointent de P vers les sommets de notre polygone. Je ne vois pas immédiatement comment on ferait cela.

  1. "Par exemple, trouver le 'point toricelli' du pentagone se réduit au problème de trouver un moyen d'organiser les 5 vecteurs unitaires de telle sorte que leur somme soit nulle comme indiqué ci-dessous. De plus, comment trouverait-on généralement un arrangement qui ajoute à zéro? "

Précisément. Pour 5 vecteurs, vous pouvez facilement produire de nombreux arrangements de ce type: en additionnant 2 vecteurs unitaires, on peut obtenir un vecteur dans une direction arbitraire de n'importe quelle taille entre 0 et 2. Maintenant, prenez n'importe quel triangle avec un côté$\vec{v}$ de taille 1 et deux autres de tailles comprises entre 0 et 2. Faites ces deux "autres" côtés en additionnant quelques paires de vecteurs unitaires, et enfin ajoutez le dernier vecteur unitaire égal à $\vec{v}$. La somme globale de 5 vecteurs est alors la somme des 3 vecteurs composant le triangle, soit$\vec{0}$.

Or, pour une configuration aléatoire de ce type vous ne trouverez pas de point P tel que le vecteur de celui-ci à vos 5 sommets fasse cette configuration. Par conséquent, il n'est pas clair comment trouver les "points Torricelli" des pentagones en utilisant ce type de méthode.