Laisser $G$ être un groupe fini et $A:=\{a\in G\mid a\neq a^{-1}\}$. Prouve-le $|A|$ est même.

Question

Laisser $G$ être un groupe fini et $A:=\{a \in G\mid a \neq a^{-1} \}$ un ensemble qui contient tous les éléments de $G$qui ne sont pas égaux à leurs inverses respectifs. Prouve-le$A$ contient un nombre pair d'éléments.

Je l' ai vu quelques messages ici ici à propos de cette preuve, mais aucun d' entre eux étaient semblables à ma tentative.

Voici ma tentative:

Depuis $G$ est fini, alors $A$ est également finie.

De plus, chaque élément de $A$ a un inverse car $G$ est un groupe.

Maintenant, divisez $A$ en deux ensembles appelés $X$ et $Y$, tel que $X\subseteq A$ et $Y\subseteq A$, de sorte que chaque élément de $X$ a son inverse en $Y$.

Laisser $k_{1},k_{2} \in \mathbb{N}$, tel que $\left | X \right | = k_{1}$ et $\left | Y \right | = k_{2}$.

Puisqu'il n'y a pas d'élément égal à son inverse dans $A$, puis $ \left | A \right | = \left | X \right | + \left | Y \right |$.

De plus, $\left | X \right | = \left | Y \right |$ car $A$ ne contient que des éléments différents de leurs inverses respectifs.

Donc, \ begin {aligné} \ left | A \ droite | & = \ gauche | X \ droite | + \ gauche | Y \ droite | \\ & = k_ {1} + k_ {2} && \ text {[$\left | X \right | = k_{1}$ et $\left | Y \right | = k_{2}$]} \\ & = k_ {1} + k_ {1} && \ text {[$\left | X \right | = \left | Y \right |$]} \\ & = 2 \ cdot k_ {1} \ end {aligné}

$2k_{1}$ est un nombre pair, par définition du nombre pair.

Par conséquent, l'ensemble $A$ contient un nombre pair d'éléments.

Ma preuve semble-t-elle correcte? Chaque aide est appréciée!

Answer 1

Il existe une division plus simple de $A$ça fait l'affaire. Au lieu de diviser$A$ en deux sous-ensembles disjoints d'égale cardinalité, divisez-le en une collection disjointe par paires de deux sous-ensembles d'éléments: $$A = \bigcup_{x \in A} \{x,x^{-1}\} $$

Answer 2

Yuo a une bonne idée, mais soulignons quelques problèmes:

1. Maintenant, divisez $A$ en deux ensembles appelés $X$ et $Y$, tel que $X\subseteq A$ et $Y\subseteq A$, de sorte que chaque élément de $X$ a son inverse en $Y$.

   Ok, voici quelques exemples: (a) $X=\emptyset$ et $Y=A$; (b)$X=A$ et $Y=A$. Pour que l'idée fonctionne, vous devez ajouter: (i) que, pour tous$x\in A$, $x\in X$ ou $x\in Y$; (ii) que$X\cap Y=\emptyset$

2. Si vous ajoutez les conditions ci-dessus, $\lvert X\rvert=\lvert Y\rvert$ est principalement dû au fait que $x\mapsto x^{-1}$ est une injection de $X$ à $Y$(ce qui est vrai indépendamment de (i) ou (ii)), plus la surjectivité grâce à (i). La condition (ii) ou le fait qu'aucun élément n'est égal à son inverse ne sont pas pertinents à cette fin.

3. D'autre part, (ii) est nécessaire pour prouver que $\lvert A\rvert=\lvert X\rvert+\lvert Y\rvert$.

Le lecteur attentif pourrait également remettre en question l'existence d'une paire d'ensembles comme dans (1).