Laisser $\{x_n\}$ être une séquence dans $(0, 1)$ tel que $x_n \to 0$. Montrez que la séquence $\{f(x_n)\}$ converge.
J'essaye de résoudre le problème suivant:
Supposer que $f: (0, 1) \to \mathbb R$est uniformément continue. Laisser$\{x_n\}$ être une séquence dans $(0, 1)$ tel que $x_n \to 0$. Montrez que la séquence$\{f(x_n)\}$ converge.
Je pense que si du tout $f(x_n)$ converge, il devrait converger vers $f(0)$ mais je ne suis pas sûr que cela découle de quel théorème (?).
Deuxièmement, si nous disions traiter de l'intervalle $[0, 1]$ plutôt que $(0, 1)$Je pense que j'ai une idée sur la façon d'aborder. Depuis$f(x)$ serait uniformément continue sur $[0, 1]$ pour chaque $\epsilon > 0$ nous aurions un $\delta_\epsilon$ tel que si $|x_n - 0| < \delta_{\epsilon}$ puis $|f(x_n) - f(0)| < \epsilon$. Depuis,$x_n \to 0$ Je pense que nous pouvons toujours en choisir $N \in \mathbb N$ tel que pour $n > N$, $|x_n - 0| < \delta_\epsilon$. Donc on aurait ça pour tous$n > N$, $|f(x_n) - f(0)| < \epsilon$ pour un choix de $\epsilon > 0$.
Mais ici nous avons affaire à l'intervalle ouvert $(0, 1)$ plutôt que $[0, 1]$ et en tant que tel, nous ne sommes pas garantis que pour chaque $\epsilon > 0$ nous aurions un $\delta_\epsilon$ tel que si $|x_n - 0| < \delta_{\epsilon}$ puis $|f(x_n) - f(0)| < \epsilon$. En effet, la définition de la continuité uniforme dit simplement:
Laisser $(X, d_X)$ et $(Y, d_Y)$ être deux espaces métriques et laissez $f: X \to Y$. On dit que$f$ est uniformément continue ssi pour tous $\epsilon > 0$ Il y a un $\delta = \delta(\epsilon) > 0$ tel que pour tous $x, y \in X$, $d_X(x, y) < \delta \implies d_Y(f(x), f(y)) < \epsilon$.
Mais notez qu'en cas de $f: (0, 1) \to \mathbb R$ le point $0$ ne réside pas dans $(0, 1)$! Nous ne sommes donc pas garantis que pour tous$\epsilon> 0$, $d_X(x, 0) < \delta_{\epsilon} \implies d_Y(f(x), f(0)) < \epsilon$, où $X = (0, 1)$ et $Y = \mathbb R$ dans ce contexte.
Une idée de comment résoudre cette preuve? Aussi, pourquoi devrait$f(x_n)$ convergent nécessairement vers $f(0)$ si $x_n \to 0$? S'agit-il d'une propriété particulière des fonctions uniformément continues?
Réponses
Montrer, en utilisant uniformément la continuité de $f$, cette $(f(x_n))_n$ est une séquence de Cauchy. $f(0)$ n'est pas défini dans votre paramètre (le domaine de $f$ est $(0,1)$) donc vous ne pouvez pas conclure que $f(x_n) \to f(0)$. Cependant, depuis$\Bbb R$est terminée, la séquence admet une limite. Notez que les fonctions uniformément continues sont continues, donc si une fonction$g$ défini sur $[0,1]$ est alors uniformément continue, étant notamment continue, il est vrai que $g(x_n)\to g(0)$.
Une approche consiste à utiliser le fait que si $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ est uniformément continue sur $(a,b)$, puis $f$ admet une extension uniformément continue unique à $[a,b]$. Dans ce cas, vous pouvez définir de manière unique une valeur de$f(0)$ tel que $f:[0,1)\to\mathbb{R}$est uniformément continue. Ensuite, vous pouvez conclure que$f(x_n)\to f(0)$ par continuité.
Car f (x) est continue, $\forall \epsilon, \exists \delta$ tel que quand $|x_n-0|<\delta, |f(x_n)-f(0)|<\epsilon$.
Pour $x_n\to 0$, $\exists N,$ tel que quand $n>N, |x_n-0|<\delta$.
Par conséquent $|f(x_n)-f(x_0)|<\epsilon, f(x_n)$ converge.
Correction: comme l'a dit @FormulaWriter, $f(0)$ n'est pas clairement défini, il vaut donc mieux remplacer $f(0)$ ci-dessus comme $f(0+)=\lim_{x\to0+}f(x)$.