Laurent expansion de la racine carrée
J'ai le problème en deux parties suivant:
(a) Prouvez que $(z^2 - 1)^{-1}$ a une racine carrée analytique dans $\mathbb{C} - [-1,1]$
(b) Trouver le développement de Laurent d'une racine carrée analytique de la partie (a) sur un domaine $\{a: |z| > 1 \}$, centré sur $z = 0$.
Pour la partie (a), je note que la transformation Mobius $F(z) = \frac{z-i}{z+i}$ cartographie le $\mathbb{C} - [-1,1]$ sur $\mathbb{C}-(-\infty,0]$. Depuis$\mathbb{C} - (-\infty,0]$ est simplement connecté et $F$ est différent de zéro sur $\mathbb{C} - [-1,1]$, nous pouvons définir une branche analytique à valeur unique de $\sqrt{F(z)}$ sur $\mathbb{C} - [-1,1]$. Ensuite, par un calcul rapide
$$G(z) = \frac{1}{(z+i)^2\sqrt{F(z)}}$$
est une racine carrée analytique de $(z^2 - 1)^{-1}$ dans $\mathbb{C} - [-1,1]$.
Cependant, je ne sais pas comment aborder la partie (b). Toute aide serait appréciée.
Réponses
Par partie $(a)$ car $|z|>1$, si $z=re^{i\theta}: -\pi<\theta< \pi,$ nous pouvons utiliser la branche principale du logarithme, et choisir $\sqrt {w^2}=w.$ Puis, avec $Z=1/z^2$ et notant que le théorème binomial est valable pour $|z|>1,$ nous calculons
$\sqrt {(z^2 - 1)^{-1}}=\sqrt {(z^2 - 1)^{-1}}=\frac{1}{z}\sqrt{\frac{1}{1-Z}}=\frac{1}{z}(1-Z)^{-1/2}=$
$\frac{1}{z}( 1 + Z/2 + 3 Z^2/8 + 5 Z^3/16 + 35 Z^4/128 + 63 Z^5/256 + 231 Z^6/1024 + 429 Z^7/2048 + 6435 Z^8/32768 + 12155 Z^9/65536 + 46189 Z^{10}/262144 + O(Z^{11}))$
Si $\theta$ se trouve sur l'axe réel négatif, puis choisissez la coupe de branche en conséquence et répétez le calcul ci-dessus pour $0<\theta<2\pi$.
Je pense aussi que nous pouvons obtenir $(a)$par des moyens élémentaires. Nous avons par définition,
$\sqrt{(z^2 - 1)^{-1}}=e^{-\frac{1}{2}\log (z^2-1)}$. Cette fonction a des points de branchement à$1$ et $-1$ mais non $\infty$ afin que nous puissions implémenter le diagramme
réglage $z + 1 = r_1e^{i\theta_1}$ et $z -1 = r_2e^{i\theta_2}$ et $\pi<\theta_1,\theta_2<\pi$
et prouver l'analyticité par le calcul direct. Cela revient à considérer des cas.