Lemme pour prouver l'existence d'une infinité de nombres premiers

Question

Ce problème provient de l' Introduction de Gerstein aux structures mathématiques et aux preuves . La partie b du problème est de donner un type particulier de preuve qu'il y a infiniment de nombres premiers. Je suis concerné par la partie a, le lemme requis. La partie a est énoncée:

Montrez que si $n \ge 3$ alors il y a un nombre premier p satisfaisant $n \lt p \le n!-1$.

Il y a un indice:

"Considérons un diviseur premier p de $(n-1)!-1$. Pourquoi p existe-t-il? "

Voici ma tentative de solution:

p existe parce que chaque entier a un diviseur premier. Pour le k-ième prime$p_k$, définir

$p_k!!=\Pi_{i=1}^{k} p_i$ où $p_i$ est le i-ème premier.

Le symbole p désigne un diviseur premier de $(n-1)!-1$. Ma conjecture est que$p!!+1$est primordial. Il suffit de montrer qu'il se situe dans la plage requise.

Il est raisonnable (bien que je ne l'ai pas prouvé) de supposer que $p!!+1 > n$.

$p!!$est le produit de moins de n entiers, dont chacun est inférieur ou égal à p, supérieur ou égal à n. Alors$p!!+1\le n!-1$ et la prétendue preuve, telle qu'elle est, serait complète.

Y a-t-il un mérite à cet argument? Sinon, comment la proposition peut-elle être démontrée?

Answer 1

$13!!+1=30031=59\cdot509$ n'est pas premier, donc l'argument ne peut pas fonctionner.

Cependant, il est certainement vrai que $n!-1$ a un diviseur premier $p$, et clairement $p\le n!-1$, il suffit donc de montrer que $p>n$. Depuis$p\mid n!-1$, clairement $p\not\mid n!$; mais chaque entier positif$\le n$ se divise $n!$, alors $p$ c'est pas possible $\le n$. Ainsi, nous devons avoir$n<p\le n!-1$.