Longueur projetée attendue des vecteurs radiaux de la n-sphère
Situation
Dans $n$-espace euclidien dimensionnel repose sur une unité $(n-1)$-Sphère dimensionnelle projetée orthographiquement sur une $(n-1)$-plan dimensionnel. La définition topologique d'une sphère est utilisée, c'est-à-dire que seuls les points de la surface appartiennent à une sphère.
Question
Quelle est la longueur projetée prévue $\bar{x}_n$ de vecteurs unitaires radiaux uniformément distribués qui commencent au centre de la sphère?
Stratégie de solution
On pourrait calculer cela par intégration multiple en utilisant $n$-cordonnées sphériques dimensionnelles mais j'espère qu'il existe une méthode plus élégante. Il semble qu'il existe un modèle qui pourrait être généralisé à$n$ dimensions.
Solutions pour $n=2$ et $n=3$
2 espaces (voir dessin)
Dans l'espace 2 (plan), une unité 1 sphère (cercle) est projetée sur un plan 1 (ligne). La longueur moyenne projetée à partir de l'intégration sur un quadrant est$$\bar{x}_2=\frac{2}{\pi} =\frac{4}{2\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2} } \sin(\alpha) \mathrm{d}\alpha$$
3 espaces
Si nous allons 1 dimension plus haut, nous arrivons à l'habituelle 2 sphères dans 3 espaces. Le vecteur radial est projeté sur un plan à 2. Par intégration sur un octet on obtient la longueur moyenne projetée$$\bar{x}_3=\frac{\pi}{4} =\frac{8}{4\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2} } \int_{0}^{\frac{\pi}{2} } \sin^2(\theta) \mathrm{d\theta} \mathrm{d}\phi$$
Réponses
Avertissement: j'ai utilisé Mathematica pour une partie du problème.
En tant que valeur attendue, ce serait $$\mathbb{E}\left[ \sqrt{x_1^2+x_2^2 + ... + x_{n-1}^2} \right]$$
où $\left(x_1, x_2, ..., x_n\right)$est un point aléatoire sur la surface de la sphère. Puisqu'on sait que$x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 = 1$, cela équivaut à $$\mathbb{E}\left[ \sqrt{1 - x_n^2} \right] = \mathbb{E}\left[ \sqrt{1 - x_1^2} \right]$$
D' ici ,$x_1$ peut être choisi comme $\frac{y_1}{\sqrt{\sum_{k=1}^n y_k^2}}$, où $y_k$ sont choisis parmi $\mathcal{N}(0, 1)$. La valeur attendue est alors$$\mathbb{E}\left[ \sqrt{1 - \frac{y_1^2}{\sum_{k=1}^n y_k^2}} \right]$$
En tant qu'intégrale, ce serait $$\int_0^{1} \left(1 - \mathbb{P}\left( \sqrt{1 - \frac{y_1^2}{\sum_{k=1}^n y_k^2}}<x \right)\right) dx$$
Cette probabilité intérieure est égale à $$\mathbb{P}\left( \frac{1-x^2}{x^2}\sum_{k=2}^n y_k^2 < y_1^2 \right)$$
En utilisant le PDF de la distribution du chi carré, ce serait $$\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)}\frac{1}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}\int_{0}^{\infty}\int_{\frac{1-x^2}{x^2}z}^{\infty} z^{(n-1)/2-1}e^{-z/2}y^{1/2-1}e^{-y/2} dydz$$
Ensuite, la réponse est (après quelques changements de limites) $$1-\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\int_{\sqrt{\frac{z}{y+z}}}^{1}\left(z^{\frac{n-3}{2}}e^{-\frac{z}{2}}y^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{y}{2}}\right)dxdydz$$
Cela simplifie à $$\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\left(z^{\frac{n-2}{2}}e^{-\frac{y+z}{2}}y^{-\frac{1}{2}}\right)\sqrt{\frac{1}{y+z}}dydz$$
Mathematica donne alors ceci comme $$\frac{\pi^{\frac{3}{2}}}{\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}\frac{\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)\Gamma\left(1-\frac{n+1}{2}\right)}{\left(\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)\Gamma\left(1-\frac{n}{2}\right)\right)^{2}}$$ pour non-entier $n$. Prenant la limite comme$n$ approche un entier et en utilisant la formule de réflexion d'Euler, cela simplifie à $$\frac{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)^2}{\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)} \approx 1 - \frac{1}{2}n^{-1}-\frac{3}{8}n^{-2} + O(n^{-3})$$
Edit: en utilisant ça $\Gamma(k + \frac{1}{2}) = \frac{(2k-1)!!\sqrt{\pi}}{2^k} = \frac{(2k)!\sqrt{\pi}}{4^k}k!$ et $\Gamma(k) = (k-1)!$, fractionnement par cas pairs et impairs, pour impairs $n$, il est $$\frac{\pi}{4^{n-1}}\cdot\frac{\left[\left(n-1\right)!\right]^{2}}{\left(\frac{n-3}{2}\right)!\left[\left(\frac{n-1}{2}\right)!\right]^{3}} = \frac{\pi(n-1)}{2^{2n-1}} \binom{n-1}{\frac{n-1}{2}}^2$$ tandis que pour même $n$, il est $$\frac{2^{2n-2}}{\pi}\frac{\left(\frac{n}{2}\right)!\left[\left(\frac{n}{2}-1\right)!\right]^{3}}{\left(n-2\right)!\left(n\right)!} = \frac{2^{2n+1}}{\pi}\frac{n-1}{n^{2}}\binom{n}{\frac{n}{2}}^{-2}$$