Matrices semi-définies positives et positives

Question

Laisser $H_n$ être un $(n+1)\times (n+1)$ matrice symétrique réelle, et laissez $D_0,D_1,\dots, D_n$ être les principaux mineurs de $H_n$.

Ce que je sais c'est:

1. Si $H_n$ est positive définie (resp. positive semi-définie), alors $D_n> 0$ (resp. $D_n\geq 0$).
2. Si $D_k>0$ pour tous $0\leq k\leq n$, puis $H_n$est défini positif (selon le critère de Sylvester ).

Ce que je veux savoir, c'est en supposant que $H_n$ est semi-défini positif,

$\quad$Q1. Si$D_n>0$, puis $H_n$ est défini positivement.

$\quad$Q2. Si$H_n$ n'est pas défini positivement, alors $D_n=0$.

Pour Q1: je crois que c'est fait par induction sur $n$. Pour$n=0$: Si $D_0>0$, puis $H_0$est défini positif, par le deuxième point. Pour$n=1$: Si $D_1>0$, Comment sais-tu ça $D_0\neq 0$, afin que nous puissions utiliser à nouveau le deuxième point?

Pour Q2: nous savons que $H_n$ est semi-défini positif par hypothèse, donc $D_n\geq 0$par premier point. Mais depuis$H_n$ n'est pas positif semi-défini, nous ne pouvons pas avoir $D_n>0$, alors $D_n=0$. Est-ce que c'est ça?

Answer 1

Une matrice semi-définie positive est définie positive si et seulement si elle est inversible (a un déterminant non nul).

Ceci est normalement considéré comme une conséquence de ce qui suit: une matrice symétrique est définie positive si et seulement si ses valeurs propres sont réelles et semi-définies positives si et seulement si ses valeurs propres sont non négatives. A partir de là, on note que le déterminant d'une matrice est le produit de ses valeurs propres.

Pour une preuve plus directe, il suffit de noter que pour une matrice semi-définie positive (symétrique) $H$, nous avons $x^THx = 0 \iff Hx = 0$. Dans mon post ici , je le prouve de différentes manières. À partir de là, notez qu'une matrice a un déterminant nul si et seulement si son espace nul (noyau AKA) n'est pas trivial.