Modifier la théorie des absorbeurs de Feynman-Wheeler pour travailler avec des potentiels arbitraires?

Question

J'essaie de considérer la dynamique multi-corps relativiste en relativité restreinte. En mécanique classique, il est facile d'écrire un simple$n$-Système de carrosserie avec un potentiel arbitraire $V$:

\ begin {équation} m \ ddot {x} _ i = \ sum_ j - \ nabla_ {x_ i} V (| x_ i-x_ j |). \ tag {1} \ label {1} ​​\ end {equation} En relativité restreinte, il est tentant de simplement remplacer cela par le potentiel retardé, où$x_ j$ est évalué au moment où $c |\Delta t|=|x_ i-x_ j|$. Cependant, cela aboutit à des solutions qui explosent avec le temps . Je veux trouver une action pour un système à 2 corps qui se réduit à l'équation \ ref {1} dans la limite$v\ll c$, mais qui a également des lois de conservation correctes et physiquement significatives.

Puisque tout cela relève du domaine de la réaction aux radiations, je pense qu'un point de départ infaillible est de considérer les choses à partir d'un système de type Lagrangien Feynman-Wheeler ( Electrodynamique classique en termes d'action directe interparticulaire ), puisque ses symétries donneront assez directement des lois de conservation ( mais avec une certaine vitesse de retards légers). J'étiquette les deux particules$a$ et $b$, et je travaille avec $c=1$, charges et masses unitaires, signature $(- + + +)$, et $t$un paramètre arbitraire étiquetant les lignes du monde. Alors l'action est:

$$A=-\sum_{i=a,b}\int dt \sqrt{-\dot x_i^\mu \dot x_{i\mu}} - \iint \delta((x_a-x_b)^2) \dot x_a^\mu \dot x_{b\mu}dt_1 dt_2 \label{2}\tag{2}$$

Notez que $dt \sqrt{-\dot x_i^\mu \dot x_{i\mu}}$ devrait vraiment être considéré comme $\sqrt{-dx_i^\mu dx_{i\mu}}$, et que la double intégrale doit vraiment être considérée comme $dx_a^\mu dx_{b\mu}$. Donc, nous sommes vraiment invariants de reparamètres, et nous intégrons vraiment par rapport aux lignes du monde. (Notez également: "$x^2$"dans la fonction delta signifie $x^\mu x_\mu$.)

Il est facile de voir que cela donne la force de Coulomb: Fixer la particule $b$ à l'origine pour que $x_b^\mu(t)=(t,\vec{0})$. Puis pour$x_a^\mu(t)=(t,\vec{x}_a(t))$, nous trouvons $\dot x_a^\mu \dot x_{b\mu}=1$. Appliquer l'identité de la fonction delta$\delta(g(x))=\sum_{g(x_0)=0} \delta(x-x_0)/|g'(x_0)|$ et intégrer par rapport à $t_2$ obtenir

$$\iint \delta((x_a-x_b)^2) \dot x_a^\mu \dot x_{b\mu}dt_1 dt_2 =\int dt_1 \sum_{t_2=t_a,t_r}\frac{1}{|2(x_a^\mu-x_b^\mu) \dot x_{b\mu}|}=\int dt_1 \sum_{t_2=t_a,t_r}\frac{1}{|2\Delta t|}.\label{3}\tag{3}$$

$t_a$ et $t_r$ sont les temps avancés et retardés avec $|\Delta t|=|\Delta x|$, donc en additionnant les deux, nous obtenons l'action d'une seule particule dans un potentiel de Coulomb $$\int dt_1 \frac{1}{|\Delta x|}$$

Donc le terme $|(x_a^\mu-x_b^\mu) \dot x_{b\mu}|$ transformé en une différence de vecteur $|\Delta \vec{x}|$. Cela conduit à l'idée: il suffit de multiplier le terme d'interaction par des termes comme ça. Le terme d'action corrigé pourrait ressembler à ceci:

$$\iint F(|(x_a^\mu-x_b^\mu) \dot x_{b\mu} /\sqrt{- \dot x_b^\nu\dot x_{b\nu}}|) \delta((x_a-x_b)^2) \dot x_a^\mu \dot x_{b\mu}dt_1 dt_2. \label{4}\tag{4}$$

Si $F(x)=xV(x)$ et particule $b$ est fixé à l'origine, cela donne la limite correcte, et est la covariante de Lorentz et l'invariant de reparamétrie (c'est ce que le $\sqrt{-\ldots}$ terme est pour), mais il favorise également $x_a$ plus de $x_b$! Symétrisation par rapport à$a$ et $b$ semble également OK, car pour $|\frac{d}{dt} \vec{x}_a| \ll 1$ on devrait avoir $\dot x_{a\mu} /\sqrt{- \dot x_a^\nu\dot x_{a\nu}}\approx (1,\vec{0})$, mais on a l'impression qu'il devrait y avoir une voie plus simple à emprunter.

Quelqu'un connaît-il un moyen de le faire ou a-t-il de meilleures idées sur la façon de modifier le terme d'interaction?

La covariance de Lorentz et l'invariance des reparamètres imposent de lourdes restrictions à l'action, il n'est donc peut-être pas possible d'obtenir une action très élégante avec les propriétés souhaitées.

Answer 1

Jetez un œil à l'article suivant:

• Louis-Martinez, DJ (2006). Interactions d'action à distance relativistes non instantanées . Lettres de physique B, 632 (5-6), 733-739, doi: 10.1016 / j.physletb.2005.11.029 , arXiv: hep-th / 0510193 .

A partir de l'action généralisant l'interaction directe interparticulaire de Feynman-Wheeler en imposant des conditions d'invariance de Poincaré et des exigences supplémentaires que les paramètres le long des lignes du monde soient les temps propres des particules et que la masse doit être une quantité scalaire, l'auteur a pu montrer que la seule la forme de potentiel permise par ces conditions est la combinaison du potentiel de Coulomb et d'un potentiel montant linéairement: $V(r)=\alpha r + \beta/r$.