Montre CA $dX_t=\frac{X_t}{1-t}dt+dW_t$ peut être écrit comme $X_t=(1-t)\int_{0}^{t}\frac{1}{1-s}dW_s$
J'ai lu le lien suivant sur la définition du pont brownien et suis tombé sur la déclaration suivante (puce 9 dans le lien ci-dessus):
Supposer $W_t$ est un mouvement brownien standard, définir $X_1=1$, Puis pour $h \in [0,1]$, le processus $X_t$ est un pont brownien:
$$X_t=(1-t)\int_{h=0}^{h=t}\frac{1}{1-h}dW_h \tag{1}$$
Je peux réellement comprendre la preuve de cette déclaration présentée dans le lien ci-dessus et je n'ai aucun problème avec l'affirmation selon laquelle $X_t$ci-dessus est un pont brownien. Cependant, l'auteur poursuit en déclarant que:
"Sous forme différentielle, ce qui précède peut s'écrire:"
$$dX_t=\frac{X_t}{1-t}dt+dW_t \tag{2}$$
Je suis en fait incapable de relier la forme différentielle à l'équation (1) donnée pour $X_t$.
Quand je réécris la forme différentielle dans la notation «longue main», j'obtiens ($X_0:=0$):
$$X_t=\int_{h=0}^{h=t}\frac{X_h}{1-h}dh+\int_{h=0}^{h=t}dW_h=\int_{h=0}^{h=t}\frac{X_h}{1-h}dh+W_t$$
Ce qui précède n'est clairement pas la même que l'ancienne définition de $X_t$donnée dans l'équation (1). Je pense qu'il pourrait y avoir une application du lemme d'Ito à une fonction intelligemment définie$F(X_t,t)$, que je n'ai pas pu comprendre (j'ai essayé de jouer avec des variantes de $F(X_t,t):=X_te^t$, mais en vain).
Existe-t-il un moyen de "résoudre" l'équation différentielle (2) en (1), ou l'auteur a-t-il fait une faute de frappe?
Edit : après avoir lu la réponse liée dans le commentaire ci-dessous, et dans l'esprit de ma propre réponse sur la notation à une autre question ici , j'ai tenté de réécrire la réponse liée en utilisant la notation à main longue (car j'ai du mal à interpréter certaines des étapes de la réponse en notation abrégée):
Je reçois toujours une mauvaise réponse. Pourriez-vous s'il vous plaît m'aider à repérer où je vais mal? .
Le "truc" dans l'aswer lié semble être d'appliquer le lemme d'Ito à une fonction $F(W_t,t):=\frac{W_t}{1-t}$. Les dérivés sont:
$$\frac{\partial F}{\partial t}=\frac{-W_t}{(1-t)^2}, \frac{\partial F}{\partial W_t}=\frac{1}{1-t}, \frac{\partial^2 F}{\partial t^2}=0$$
Nous avons aussi cela:
$$W_t=W_0+\int_{h=0}^{h=t}a(W_h,h)_{=0}dh+\int_{h=0}^{h=t}b(W_h,h)_{=1}dW_h$$ de sorte que:
$$\frac{W_t}{1-t}=\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{\partial F}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial W}*a(W_h,h)_{=0}+\frac{\partial^2 F}{\partial W^2}_{=0}*b(W_h,h)\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\frac{\partial F}{\partial W}b(W_h,h)_{=1}dW_h=\\=\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{-W_h}{(1-h)^2}\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{1}{1-h}\right)dW_h$$
Multiplier par $1-t$ donne alors:
$$W_t=(1-t)\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{-W_h}{(1-h)^2}\right)dh+X_t$$
Par conséquent, nous avons:
$$X_t=(1-t)\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{W_h}{(1-h)^2}\right)dh+W_t$$
Se concentrer sur le terme $(1-t)\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{W_h}{(1-h)^2}\right)dh$, nous pouvons écrire:
$$\int_{h=0}^{h=t}\left((1-t)\int_{s=0}^{s=h}\frac{1}{1-h}dW_s\right)\frac{1}{1-h}dh$$
Notez que le terme dans la parenthèse ci-dessus, c'est-à-dire $\left((1-t)\int_{s=0}^{s=h}\frac{1}{1-h}dW_s\right)$en fait n'est pas égal à$X_h$ (tel que défini dans l'équation (1)), donc en fait nous n'avons pas que:
$$X_t=\int_{h=0}^{h=t}\frac{X_h}{1-h}dh+W_t$$
Réponses
Laisser $Y_{t} = \int_{0}^{t} \frac{1}{1-s}\, dW_{s}$. Jetez ensuite un œil à
$$X_{t} = (1-t) \int_{0}^{t} \frac{1}{1-s}\, dW_{s} = (1-t)Y_{t}$$
et différencier en utilisant le lemme de It ^ o
\begin{align*} dX_{t} &= -Y_{t}\, dt + (1-t)\, dY_{t} + d[ 1-t, Y_{t} ] \\ &= - Y_{t}\, dt + (1-t)\cdot \frac{1}{1-t}\, dW_{t} \\ &= -\frac{X_{t}}{1-t}\, dt + dW_{t} \end{align*}
et donc il y a effectivement une faute de frappe.
Si vous voulez résoudre
$$dX_{t} = \frac{X_{t}}{1-t}\, dt + dW_{t},$$
puis (comme dans les ODE) utiliser le facteur d'intégration
$$\mu(t) = e^{-\int_{0}^{t} \frac{1}{1-s}\, ds } = 1-t$$
pour résoudre SDE
\begin{align*} d \left (X_{t}(1-t) \right) = (1-t)\, dX_{t} - X_{t}\, dt =: (1-t)\, dW_{t} \end{align*}
pour solution
\begin{align*} X_{t} = \frac{1}{1-t}X_{0} + \frac{1}{1-t} \int_{0}^{t} (1-s)\, dW_{s}. \end{align*}
Attention: vous ne devez pas appliquer le lemme de It ^ o pour résoudre le SDE. Cela ne fonctionne que dans le cas où il admet une solution forte (cf. Oksendal, chapitre 5).