Montre CA $\int_0^\infty {1\over{x^4+1}}\,dx=\int_0^\infty {x^2\over{x^4+1}}\,dx$ [fermé]

Dec 14 2020

Quelqu'un pourrait-il me donner un indice pour montrer $$\int_0^\infty {1\over{x^4+1}}\,dx=\int_0^\infty {x^2\over{x^4+1}}\,dx?$$

Je sais comment faire les deux intégrales séparément, mais cette question conduit à une autre façon de les évaluer et nécessite que cela soit montré en premier. En tant que tel, je veux montrer l'équivalence en manipulant l'intégrale comme la question le souhaite plutôt qu'en évaluant les deux séparément.

J'ai essayé de travailler avec les deux parties et j'ai l'impression de manquer un truc. L'utilisation de l'intégration par parties augmente la puissance du dénominateur et aucune annulation gentille ne se produit (sauf une formule de réduction sans rapport). Je ne vois pas non plus une grande substitution.

Réponses

10 MarkViola Dec 14 2020 at 01:22

Notez qu'en imposant la substitution $x\mapsto 1/x$, nous trouvons

$$\begin{align} \int_0^\infty \frac{1}{1+x^4}\,dx&\overbrace{=}^{x\mapsto 1/x}\int_\infty^0 \frac1{1+1/x^4}\,\left(-\frac1{x^2}\right)\,dx\\\\&=\int_0^\infty \frac{x^2}{1+x^4}\,dx \end{align}$$

Et nous avons terminé!

4 marlasca23 Dec 14 2020 at 01:22

En gros, vous voulez prouver que

$$\int_0 ^\infty \frac{1-x^2}{1+x^4} dx = 0$$

Considérez l'intégrale dans le $(1,\infty)$intervalle. Appliquer le changement de variables$y = 1/x$ on a

$$\int_0 ^1 \frac{1-x^2}{1+x^4}dx - \int_0^1 \frac{1-y^2}{1+y^4} dy = 0$$

ce qui est clairement vrai.