$\mu(A_n \Delta B_n)=0$pour tous$n.$

Question

Laisser$(X,S,\mu)$un espace de mesure, et soit,$(A_n), (B_n)$deux séquences d'éléments de S. Si$\mu(A_n \Delta B_n)=0$pour tout n prouver, les éléments suivants sont$\mu-$ensembles nuls ($\mu(E)=0$pour$E\in$S):

je)$\mu( ( \bigcup^{\infty}_{n=1}A_n) \Delta (\bigcup^{\infty}_{n=1}B_n))$.

ii)$\mu(({\bigcap}_{n=1}^\infty) A_n \Delta ({\bigcap}_{n=1}^\infty B_n))$.

iii)$\mu((\overline{\lim} A_n) \Delta ((\overline{\lim} B_n))$.

iv)$\mu((\underline{\lim} A_n) \Delta ((\underline{\lim} B_n))$.

Pour (i) je prouve que$\mu(A_n - B_n)=\mu(B_n - A_n)=0$, car$\mu(A_n \Delta B_n)=\mu((A_n-B_n)\cup(B_n-A_n))=0$et$B_n-A_n$,$A_n-B_n$sont disjoints, alors$\mu(A_n \Delta B_n)=\mu((A_n-B_n)\cup(B_n-A_n))=\mu(A_n-B_n)+\mu(B_n-A_n)=0$pour tout n, mais$\mu$n'est pas négatif, alors$\mu(A_n - B_n)=\mu(B_n - A_n)=0$.

Pour (ii) j'ai utilisé ça$({\bigcap}_{n=1}^\infty) A_n \Delta ({\bigcap}_{n=1}^\infty B_n)\subset ({\bigcap}_{n=1}^\infty A_n \Delta B_n)$alors$\mu(({\bigcap}_{n=1}^\infty) A_n \Delta ({\bigcap}_{n=1}^\infty B_n))\leq \mu(({\bigcap}_{n=1}^\infty A_n \Delta B_n))$.

Mais pour (iii) et (iv) je ne suis pas sûr.

Answer 1

Nous avons besoin de quelques identités générales :

Laisser$K$un jeu d'index. Alors:$$ \bigcup_{k\in K} X_k \triangle \bigcup_{k\in K} Y_k \subset \bigcup_{k\in K} X_k \triangle Y_k\\ X \triangle Y = X^{c} \triangle Y^c \\ \bigcap_{k\in K} X_k \triangle \bigcap_{k\in K} Y_k \subset \bigcup_{k\in K} X_k \triangle Y_k\\ $$La première identité : Si$a\in \bigcup_{k\in K} X_k$mais$a\notin \bigcup_{k\in K} Y_k$, alors$a\in X_{k_0}$et$a\notin Y_{k_0}$, alors$a\in X_{k_0}\triangle Y_{k_0}$, pour certains$k_0\in K$. L'autre cas est similaire.

La seconde : définition de la différence d'ensemble.

Troisième : appliquez le premier et le deuxième et De-Morgan

Répondre (i) et (ii) est une simple application des identifiants ci-dessus +$\sigma$-sous-additivité de la mesure.

Pour (iii) : définir$X_n=\bigcup_{k\ge n} A_k$et$Y_n=\bigcup_{k\ge n} B_k$. Alors$X_n \triangle Y_n$est un ensemble nul : il est couvert par une union d'ensembles nuls :$X_n \triangle Y_n\subset \bigcup_{k\ge n} A_k \triangle B_k$, par la première identité.

Maintenant, la relation$\bigcap_n X_n \triangle \bigcap_n Y_n\subset \bigcup_n X_n \triangle Y_n$implique de même que$\mu\left( \overline{\lim}A_n \triangle \overline{\lim}B_n\right)=0$.

La$\underline{\lim}$cas est presque identique.