Norme d'opérateur d'un opérateur hermitien

Question

Je veux prouver le résultat suivant mentionné dans Sadri Hassani : -

La première inégalité, c'est-à-dire$|\langle Hx|x\rangle| \le ||H||\ ||x||^2 = ||H||$découle directement de la définition de la norme d'un opérateur. Pour l'inégalité inverse, l'auteur mentionne la procédure suivante.

Je ne peux pas comprendre comment ils ont obtenu l'inégalité en utilisant le résultat ci-dessus. Aussi, je pense que le résultat pour$4\langle Hx|y\rangle $devrait avoir un$-i$à la place de$i$dans l'égalité.

Answer 1

Avec les choix donnés pour$x$et$y$, Tu as ça$\langle Hx,y\rangle\in\mathbb R$, donc l'égalité se réduit à$$ 4\langle Hx,y\rangle=\big(\langle H(x+y),x+y)\rangle-\langle H(x-y),(x-y)\rangle\big). $$Aussi,$\|x\|=\|y\|=\|Hz\|^{1/2}\,\|z\|^{1/2}$. Ensuite, en utilisant l'identité du parallélogramme,\begin{align} 4\|Hz\|^2&=4\langle Hx,y\rangle\\[0.3cm] &\leq M\|x+y\|^2+M\|x-y\|^2\\[0.3cm] &=2M(\|x\|^2+\|y\|^2)\\[0.3cm] &=4M\|Hz\|\,\|z\|. \end{align}